1. Übung Elementare Algorithmen in der Algebra

Priv. Doz. Dr. G. Nebe (SS 00)

Aufgabe 1. Seien R_{1}, R_{2} Ringe und f : R_{1} → R_{2} ein Ringhomomorphismus. Ist I ⊴ R_{2} ein zweiseitiges Ideal in R_{2}, so ist das Urbild

f^{−1}(I) := {a ∈ R_{1} | f(a) ∈ I}

ein Ideal von R_{1}. Insbesondere ist Ker(f) ⊴ R_{1}. Das Bild eines Ideals von R_{1} ist jedoch nicht notwendig ein Ideal in R_{2}.

Aufgabe 2. Schreiben Sie ein Programm (vorzugsweise in MAPLE), welches den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen berechnet.

Aufgabe 3. Sei w := \frac{−1+\sqrt{−3}}{2} ∈ ℂ und R := ℤ[w] := \{a + bw | a, b ∈ ℤ\}. Bestimmen Sie die Einheitengruppe von R. Zeigen Sie, dass der komplexe Absolutbetrag R zu einem Euklidischen Ring macht und bestimmen Sie den ggT von 19 und 7 + 3\sqrt{−3} in R.

Aufgabe 4. Schreiben Sie ein Programm, welches für gegebene paarweise teilerfremde ganze Zahlen m_{1}, …, m_{n} und Reste a_{1}, …, a_{n} ∈ ℤ eine Zahl a ∈ ℤ bestimmt, mit a ≡ a_{i} (mod m_{i}) für alle 1 ≤ i ≤ n.

Bestimmen Sie eine Zahl a ∈ ℤ mit a ≡ i (mod p(i)) für i = 1, …, 20, wo p(i) die i-te Primzahl bezeichnet (p(1) = 2, …, p(20) = 71).

Aufgabe 5. Ändern Sie das Programm aus Aufgabe 4 so ab, dass es mit dem Polynomring ℚ[x] anstelle von ℤ arbeitet. (Hinweis: MAPLE-Befehle quo und rem.)

Bestimmen Sie ein Polynom f ∈ ℚ[x], dass die Funktion p(i) aus Aufgabe 4 für i = 1, …, 20 interpoliert, d.h. f(i) = p(i) für i = 1, …, 20.

Abgabe: Donnerstag, den 20.4.00, in der Übung 12:30 Uhr im kl. physik. Hörsaal Programme können per e-mail an gabi@momo.math.rwth-aachen.de geschickt werden.