10. Übung Elementare Algorithmen in der Algebra

Priv. Doz. Dr. G. Nebe (SS 00)

Aufgabe 38. Ist G = {g_{1}, …, g_{s}} eine Gröbnerbasis für I, so bilden die Restklassen der Monome, die nicht durch eines der lm(g_{i}) teilbar sind, eine K-Basis von K[x_{1}, …, x_{n}]/I.

Aufgabe 39. Zeigen Sie, dass G = {g_{1} := z + x, g_{2} := y − x} eine Gröbnerbasis für lex mit x < y < z ist, aber nicht für lex mit z < y < x.

Aufgabe 40. Zeigen Sie, dass I := (x+y^{2}, z+x^{2}y)⊴ℚ[x, y, z] ein Primideal (d.h. der Restklassenring ist nullteilerfrei) ist. (Hinweis: Die beiden Erzeuger von I sind eine Gröbnerbasis für lex mit z > x > y.)

Aufgabe 41. Sei F = {f_{1}, …, f_{s}} ⊂ K[x_{1}, …, x_{n}] und < irgendeine Monomordnung.

(a) Besteht F nur aus Monomen, so ist F eine Gröbnerbasis für (F).

(b) Sind alle f_{i} Differenzen von 2 Monomen, so hat (F) eine Gröbnerbasis, deren Elemente Differenzen von 2 Monomen sind.

Aufgabe 42. Sei < eine feste Monomordnung und definiere den Multigrad von 0 ≠ f ∈ K[x_{1}, …, x_{n}] als deg(f) := α, falls lm(f) = x^{α}.

(a) Ist G = {g_{1}, …, g_{s}} eine Gröbnerbasis für I und α_{i} := deg(g_{i}), so ist

deg(I \ {0}) = ⋃_{i=1}^{s}(α_{i} + (ℕ_{0})^{n}).

(b) Zeichnen Sie deg(I \ {0}) für I = (x^{2}y − y + x, xy^{2} − x) bezüglich deglex mit x < y und bezüglich lex mit x < y.

Abgabe: Donnerstag, den 13.7.00, in der Übung 12:30 Uhr im kl. physik. Hörsaal