2. Übung Elementare Algorithmen in der Algebra

Priv. Doz. Dr. G. Nebe (SS 00)

Aufgabe 6. Implementieren Sie Algorithmus 2.13 in MAPLE.

Aufgabe 7. Schreiben Sie ein Programm, das für gegebenes c, N ∈ ℕ Zahlen a, b ∈ ℤ bestimmt, mit a ≡ cb (mod N), für welche a^{2} + b^{2} minimal ist. Bestimmen Sie ‘kleine’ rationale Zahlen \frac{a}{b}, die modulo 7^{4} komgruent zu 801 bzw. 2135 sind.

Aufgabe 8. Ändern Sie Algorithmus 2.13 so ab, dass er ohne den Parameter λ zu kennen, die inverse Matrix berechnet.

Aufgabe 9. Sei B := (b_{1}, …, b_{n}) eine Basis des Euklidischen Raums (ℝ^{n}, Φ), L = ⊕_{j=1}^{n}ℤb_{j} das von B erzeugte Gitter und B′ := (b′_{1}, …, b′_{n}) eine weitere Basis des ℝ^{n}. Zeigen Sie, dass B′ genau dann eine Gitterbasis von L ist, wenn die Basiswechselmatrix X := _{B}id_{B′} in GL_{n}(ℤ) liegt. (Die i-te Zeile von _{B}id_{B′} ist die Koordinatenzeile von b_{i} in der Basis B′.) Zeigen Sie, dass für die Grammatrizen Φ(B) und Φ(B′) gilt:

Φ(B) = XΦ(B′)X^{tr}.

Am Dienstag, 25.4.00 findet keine Vorlesung statt.

Abgabe: Donnerstag, den 27.4.00, in der Übung 12:30 Uhr im kl. physik. Hörsaal Programme können per e-mail an gabi@momo.math.rwth-aachen.de geschickt werden.