6. Übung Elementare Algorithmen in der Algebra

Priv. Doz. Dr. G. Nebe (SS 00)

Aufgabe 21. Sei E die elliptische Kurve, die durch Y^{2} = X^{3} − X definiert ist.

a) Bestimmen Sie E(𝔽_{5}).

b) Zeigen Sie, dass für p ≡ 3 (mod 4) die Ordnung von E gleich |E(𝔽_{p})| = p + 1 ist.

(Hinweis zu b): Zeigen Sie, dass (−1) kein Quadrat in 𝔽_{p}^{∗} ist, und deshalb

𝔽_{p}^{∗} = (𝔽_{p}^{∗})^{2} ∪^{.} (−1)(𝔽_{p}^{∗})^{2}.)

Aufgabe 22. Zeigen Sie, dass im Fall P_{1} ≠ P_{2}, der durch die Addition P_{1} + P_{2} =: P_{3} = (x_{3}, y_{3}) definierte Punkt in E(𝔽_{p}) liegt und dass (x_{3}, −y_{3}) = −P_{3} genau der 3. Schnittpunkt von E mit der Geraden durch P_{1} und P_{2} ist.

Aufgabe 23. Entwerfen Sie ein Verfahren, Nachrichten mit RSA zu authentifizieren.

Abgabe: Donnerstag, den 25.5.00, in der Übung 12:30 Uhr im kl. physik. Hörsaal