Klausur zur Vorlesung Algebra I (WS 2002/2003)

Prof. Dr. G. Hiß

Von den 12 folgenden Aufgaben dürfen Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Insgesamt sind 57 Punkte erreichbar, zum Bestehen der Klausur sind 25 Punkte notwendig. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Bitte bearbeiten Sie jede Aufgabe auf einem gesonderten Blatt und geben Sie auf jedem Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikel-Nummer an. Hilfsmittel sind nicht erlaubt. Bitte beachten Sie, daß Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösungen bilden. Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Wieviele Teilkörper hat ein Körper mit 125 Elementen? 2 Punkte

Aufgabe 2. Es seien f = X^{3} + 1 ∈ ℚ[X] und a ∈ ℂ eine Nullstelle von f. Zeigen Sie, dass ℚ(a)/ℚ normal ist. 3 Punkte

Aufgabe 3. Es seien a ∈ ℂ eine Nullstelle von X^{3} − X^{2} + X − 3 und b = a^{2} − a − 1 ∈ ℚ(a). Berechnen Sie ein Polynom f ∈ ℚ[X] mit f(a) = b^{−1} und degf ⩽ 3. 5 Punkte

Aufgabe 4. Es seien L/K eine endliche Körpererweiterung, a ∈ L und [K(a) : K] ungerade. Zeigen Sie, dass K(a) = K(a^{2}) ist. 3 Punkte

Aufgabe 5. Es sei L/K eine endliche Körpererweiterung mit charK |̸ [L : K]. Zeigen Sie, dass L separabel über K ist. 4 Punkte

Aufgabe 6. Zeigen Sie, dass es zu jedem n ∈ ℕ unendlich viele irreduzible Polynome in ℚ[X] vom Grad n gibt. 3 Punkte

Aufgabe 7. Welche der folgenden Polynome sind irreduzibel (im jeweils angegebenen Polynomring)?

a) 2X^{5} − 6 ∈ ℤ[X] 1 Punkt

2X^{5} − 6 ∈ ℚ[X] 1 Punkt

2X^{5} − 6 ∈ ℝ[X] 1 Punkt

b) X^{3} + 3X^{2} − 12X − 36 ∈ ℤ[X] 2 Punkte Aufgabe 8. Es sei p ∈ ℕ eine Primzahl mit p ⩾ 5. Zeigen Sie, dass X^{2} + X + 1 ∈ 𝔽_{p}[X] genau dann irreduzibel ist, wenn p ≡ 1 (mod 3) ist. 3 Punkte

Aufgabe 9. Es sei n ∈ ℕ. Zeigen Sie, dass für alle 0 ≠ a ∈ ℤ/nℤ entweder a ein Nullteiler oder invertierbar ist. 2 Punkte

Aufgabe 10. Es sei i ∈ ℂ mit i^{2} = −1 und Z[i] = {a + ib | a, b ∈ ℤ der Ring der ganzen Gaußschen Zahlen.

a) Bestimmen Sie die Einheitengruppe von ℤ[i]. 3 Punkte

b) Ist 10 = 2 · 5 = (3 + i)(3 − i) ein Beispiel für eine nicht eindeutige Zerlegung in irreduzible Elemente in ℤ[i]? 1 Punkt

Aufgabe 11. Es seien G eine Gruppe und a, b, c ∈ G mit abc = 1. Zeigen Sie, dass ca = b^{−1} ist. 2 Punkte

Aufgabe 12.

a) Zeigen Sie, dass jede Gruppe der Ordnung 45 abelsch ist. 6 Punkte

b) Geben Sie bis auf Isomorphie alle abelschen Gruppen der Ordnung 45 an. 2 Punkte

Aufgabe 13. Es seien G eine Gruppe und g, h ∈ G mit G = ⟨g, h⟩. Es gelte g^{3} = h^{2} = (gh)^{7} = 1. Zeigen Sie, dass G/G′ = {1} gilt. 3 Punkte

Aufgabe 14. Es sei n ∈ ℕ, n ⩾ 3 und \underline{n} = \{1, …, n\} ⊂ ℕ. Die symmetrische Gruppe S_{n} operiere in natürlicher Weise auf M := \{s ⊂ \underline{n} | |S| = 3\} (nämlich durch S_{n} × M → M , (π, \{s_{1}, s_{2}, s_{3}\}) ↦ \{π(s_{1}), π(s_{2}), π(s_{3})\} ). Wieviele Elemente liegen in der Bahn von {1, 2, 3}? 3 Punkte