Nahholklausur zur Vorlesung Algebra I (WS 98/99)

Prof. Dr. G. Hiss

Von den 12 folgenden Aufgaben dürfen Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Insgesamt sind 63 Punkte erreichbar, zum Bestehen der Klausur sind 25 Punkte notwendig. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Bitte bearbeiten Sie jede Aufgabe auf einem gesonderten Blatt und geben Sie auf jedem Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikel-Nummer an. Hilfsmittel sind nicht erlaubt. Bitte beachten Sie, daß Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösungen bilden. Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Es seien G eine Gruppe, U ≤ G und

N := ⋂_{g∈G} gUg^{−1}.

Man zeige: N ist der größte in U enthaltene Normalteiler von G. 3 Punkte

Aufgabe 2. Es sei G eine Gruppe der Ordnung 56. Man zeige ohne Benutzung der Sätze von Feit-Thompson oder Burnside:

a) G ist auflösbar. 3 Punkte b) Es gilt G′′′ = {1}. 3 Punkte

Aufgabe 3. Man zeige: Die alternierende Gruppe A_{5} besitzt eine Operation auf einer Menge mit 6 Elementen mit genau einer Bahn. 4 Punkte

Aufgabe 4. Es seien m, n ∈ ℕ \ {0} sowie d := ggT(m, n) ∈ ℕ und v := kgV(m, n) ∈ ℕ.

a) Man bestimme die Invariantenteiler der Matrix 2 Punkte

[ \begin{matrix}m & 0 \\ 0 & n \end{matrix} ] ∈ ℤ^{2×2}.

b) Man zeige: Es gilt (ℤ/mℤ) ⊕ (ℤ/nℤ) ≅ (ℤ/dℤ) ⊕ (ℤ/vℤ) als abelsche Gruppen. 3 Punkte

Aufgabe 5. Es seien K ein Körper, a_{1}, …, a_{n} ∈ K und I := (X_{1} − a_{1}, …, X_{n} − a_{n}) ⊴ K[X_{1}, …, X_{n}]. Man zeige: I ist ein maximales Ideal. 4 Punkte Aufgabe 6. Es seien K ein Körper mit char(K) ≠ 3 und f := X^{3} + Y^{3} + Z^{3} ∈ K[X, Y, Z]. Man zeige: f ist irreduzibel. 4 Punkte Hinweis: Y + Z ∈ K[Y, Z] ist ein irreduzibles Element.

Aufgabe 7. Es seien α := \sqrt{2} ∈ ℝ und R := ℤ[α] ⊆ ℝ. Der Ring R ist ein Hauptidealring; dies ist nicht zu beweisen. Man zeige:

a) Es gilt R ≅ ℤ[X]/(X^{2} − 2) als Ringe. 4 Punkte b) Es ist 7 = (3 + \sqrt{2})(3 − \sqrt{2}) ∈ R eine Zerlegung in irreduzible Elemente und es gilt die Ringisomorphie R/(7) ≅ 𝔽_{7} ⊕ 𝔽_{7}. 5 Punkte c) Es gilt R/(3) ≅ 𝔽_{9} als Ringe und R/(2) ist als Ring nicht isomorph zu einer direkten Summe von Körpern. 4 Punkte Hinweis: Man benutze a) zur Unteruchung von R/(3).

Aufgabe 8. Es sei L := 𝔽_{p^{n}} der Körper mit p^{n} Elementen.

a) Man bestimme bis auf Isomorphie alle Körper K, für die es einen Körpermonomorphismus K ↪ L gibt. 2 Punkte b) Wieviele solche Körpermonomorphismen gibt es für die Körper K aus a) jeweils?

3 Punkte

Aufgabe 9. Es seien α := i ^{4} \sqrt{2} ∈ ℂ \ ℝ und K := ℚ(α) ⊆ ℂ. Gibt es einen Körpermonomorphismus K ↪ ℝ? 3 Punkte

Aufgabe 10. Man zeige: α ∈ ℂ ist genau dann algebraisch über ℚ, wenn die Körpererweiterung ℚ(α) ⊇ ℚ nur endlich viele Zwischenkörper besitzt. 4 Punkte

Aufgabe 11. Es sei α := \sqrt{2 + ^{3} \sqrt{2}} ∈ ℝ.

a) Man bestimme den Körpergrad [ℚ(α) : ℚ]. 3 Punkte b) Ist ℚ(α) ⊇ ℚ eine normale Erweiterung? 2 Punkte Hinweis: Es ist ^{3} \sqrt{2} ∈ ℚ(α).

Aufgabe 12. Es sei f := X^{3} − 3 ∈ ℚ[X].

a) Man zeige: f ist irreduzibel. Man bestimme den Zerfällungskörper L ⊆ ℂ von f und den Körpergrad [L : ℚ]. 3 Punkte b) Man gebe die Galois-Gruppe Gal(f) ≅ Gal(L/ℚ), die Zwischenkörper von L ⊇ ℚ und die Galois-Korrespondenz an. 4 Punkte