Klausur zur Vorlesung Algebra I (WS 98/99)

Prof. Dr. G. Hiss

Von den 12 folgenden Aufgaben dürfen Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Insgesamt sind 57 Punkte erreichbar, zum Bestehen der Klausur sind 25 Punkte notwendig. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Bitte bearbeiten Sie jede Aufgabe auf einem gesonderten Blatt und geben Sie auf jedem Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikel-Nummer an. Hilfsmittel sind nicht erlaubt. Bitte beachten Sie, daß Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösungen bilden. Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Es seien G eine endliche Gruppe und a, b ∈ G. Man zeige: Es gilt |ab| = |ba|. 3 Punkte

Aufgabe 2. Es seien p ∈ ℕ eine Primzahl, 0 < n ∈ ℕ und K := 𝔽_{p^{n}} der Körper mit p^{n} Elementen. Man gebe zu den folgenden abelschen Gruppen isomorphe direkte Produkte zyklischer Gruppen an:

a) G := (K \ {0}, ·). 2 Punkte b) H := (K, +). 2 Punkte

Aufgabe 3. Es seien G eine endliche Gruppe, P ≤ G eine p-Sylow-Gruppe und U ≤ G mit N_{G}(P) ≤ U. Man zeige: Es gilt N_{G}(U) = U. Hinweis: Für g ∈ N_{G}(U) betrachte man gP g^{−1}. 4 Punkte

Aufgabe 4. Es sei G := GL_{2}(𝔽_{4}) die volle lineare Gruppe vom Grad 2 über dem Körper 𝔽_{4}. Man zeige: Es gilt G′ = SL_{2}(𝔽_{4}) und SL_{2}(𝔽_{4}) ist isomorph zur alternierenden Gruppe A_{5}. Hinweis: Man lasse SL_{2}(𝔽_{4}) auf geeigneten Teilräumen von (𝔽_{4})^{2×1} operieren. 6 Punkte

Aufgabe 5. Es seien R := ℤ[i] ⊆ ℂ und N : R → ℤ : z ↦ zz̄, wobei z̄ ∈ ℂ das zu z ∈ ℂ komplex konjugierte Element bezeichne.

a) Es sei 0 ≠ a ∈ R. Man zeige: Es gilt |R/(a)| = N(a). 3 Punkte b) Man zeige: Es gilt R/(3) ≅ 𝔽_{9} und R/(5) ≅ 𝔽_{5} ⊕ 𝔽_{5} als Ringe. 4 Punkte

Aufgabe 6. Es sei a := ^{3} \sqrt{1 + \sqrt{11}} ∈ ℝ. Ist a ∈ ℚ? 3 Punkte Aufgabe 7. Es sei p ∈ ℕ eine Primzahl. Man zeige: Das Polynom X^{2} + 1 ist genau dann irreduzibel in 𝔽_{p}[X], wenn p ≡ −1 mod 4 gilt. 4 Punkte

Aufgabe 8. Es seien p ∈ ℕ eine Primzahl, ζ ∈ ℂ eine primitive p-te Einheitswurzel und K := ℚ(ζ) mit Galois-Gruppe G := Gal(K/ℚ). Ferner seien R := ℤ[ζ] ⊆ K und N : R → ℂ : a ↦ ∏_{σ∈G} σ(a). Man zeige:

a) Es gilt R ∩ ℚ = ℤ und N(a) ∈ ℤ für alle a ∈ R. 3 Punkte b) Genau dann ist a ∈ R Einheit in R, wenn N(a) = ±1 gilt. 3 Punkte

Aufgabe 9. Es seien K ein Körper, f, g ∈ K[X] irreduzibel und g besitze in K[X]/(f) eine Nullstelle. Man zeige: deg(g) ist ein Teiler von deg(f). 2 Punkte

Aufgabe 10. Es seien K ein Körper mit char(K) = p > 0 und L ⊇ K eine endliche Körpererweiterung, so daß p kein Teiler von [L : K] ist. Man zeige: L ist separabel über K. 2 Punkte

Aufgabe 11.

a) Es seien G eine endliche abelsche Gruppe und X eine Menge, auf der G transitiv und treu operiere, d. h., G hat auf X genau eine Bahn und kein 1 ≠ g ∈ G läßt alle Elemente von X fest. Man zeige: Für alle x ∈ X gilt G_{x} = {1}. 3 Punkte b) Es seien K ein Körper, f ∈ K[X] irreduzibel und separabel mit abelscher Galois-Gruppe Gal(f). Man zeige: Es gilt |Gal(f)| = deg(f). 3 Punkte

Aufgabe 12. Es seien f := X^{8} − 1 ∈ ℚ[X] und K ⊆ ℂ der Zerfällungskörper von f.

a) Man gebe die Zerlegung von f als Produkt irreduzibler Polynome in ℚ[X] (Begründung!) und ein primitives Element für K über ℚ an. 3 Punkte b) Man bestimme die Galois-Gruppe Gal(f) und gebe primitive Elemente über ℚ für alle Teilkörper von K sowie die Galois-Korrespondenz an. 5 Punkte c) Welche der Teilkörper von K sind normal über ℚ? 2 Punkte