Nachholklausur zur ”Algebra I“ (WS 93/94)

Bearbeitungszeit: 150 Minuten

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Bitte beachten Sie, daß \underline{ausführliche Begründungen} einen \underline{wesentlichen Teil} der Lösung einer Aufgabe bilden. Zum Bestehen der Klausur sind mindestens 50 Punkte notwendig. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Sei a = ^{5} \sqrt{3}. Schreiben Sie a^{−1} als Polynom in a, mit Koeffizienten in Q I . 6 Punkte

Aufgabe 2.

1. Bestimmen Sie alle Ideale in ZZ/12ZZ. 3 Punkte

2. Bestimmen Sie die Primideale und maximalen Ideale in ZZ/12ZZ. 3 Punkte

3. Bestimmen Sie die Nullteiler und Einheiten in ZZ/12ZZ. 2 Punkte

Aufgabe 3. Es sei G eine p-Gruppe.

1. Sei X ein Operationsbereich für G und X_{0} = {x ∈ X; xg = x für alle g ∈ G}.

Zeigen Sie, daß |X| ≡ |X_{0}| (mod p) ist. 3 Punkte

2. Zeigen Sie: Die Anzahl der Untergruppen von G, die \underline{nicht} Normalteiler in G sind, ist durch p teilbar. 3 Punkte

Aufgabe 4. G sei eine Gruppe, N ein Normalteiler in G vom Index 2, z ∈ N ∩ Z(G) ein Element der Ordnung 2. Zeigen Sie: Die Abbildung

ϕ : G → G g ↦ \{ \begin{matrix}g & , & falls g ∈ N \\ gz & , & falls g ∉ N \end{matrix}

ist ein Automorphismus von G. 7 Punkte

Aufgabe 5. Es seien η_{7} eine primitive 7. Einheitswurzel in CI und L = Q I (η_{7}).

1. Bestimmen Sie den Isomorphietyp der Galoisgruppe G der Erweiterung L ⊃ Q I . 2 Punkte

2. Geben Sie Erzeuger für alle Untergruppen von G an. 3 Punkte

3. Sei K = L ∩ IR der reelle Teilkörper von L.

Welche Untergruppe von G hat K als Fixkörper? 4 Punkte

Aufgabe 6.

1. Wieviele Isomorphietypen von Gruppen der Ordnung 22 gibt es? 6 Punkte

2. Zeigen Sie: Jede Gruppe der Ordnung 2211 ist auflösbar. 4 Punkte

Aufgabe 7. Welche der folgenden Polynome aus ZZ[X] sind irreduzibel? Begründen Sie Ihre Antworten.

1. X^{3} + 2X^{2} + X + 1 3 Punkte

2. X^{5} − 18X^{3} + 6X^{2} + 15X + 6 3 Punkte

3. X^{4} + 1 4 Punkte

Aufgabe 8. Seien G eine Gruppe und M ein Normalteiler in G, so daß G/M kommutativ ist. Zeigen Sie: Ist M ≤ H für eine Untergruppe H ≤ G, dann ist H Normalteiler in G. 5 Punkte

Aufgabe 9. Aut(G) sei die Automorphismengruppe der Gruppe G. Wir definieren für g ∈ G den Automorphismus π_{g} : G → G durch π_{g}(h) = g^{−1}hg. Inn(G) = {π_{g}; g ∈ G} sei die Gruppe der inneren Automorphismen von G. Zeigen Sie: Inn(G) ist ein Normalteiler in Aut(G). 6 Punkte

Aufgabe 10. Seien K = Q I ( ^{3} \sqrt{3}, \sqrt{2}) und α = ^{3} \sqrt{3}\sqrt{2}.

1. Bestimmen Sie eine Basis B des Q I -Vektorraums K. 3 Punkte

2. Bestimmen Sie die Matrix der linearen Abbildung α^{∗} : K → K, x ↦ x · α bezüglich B, sowie deren Spur und Determinante. 4 Punkte

3. Bestimmen Sie das Minimalpolynom von α über Q I . 5 Punkte

Aufgabe 11.

1. Seien G eine Gruppe und N, M Normalteiler von G. Zeigen Sie: Wenn N einfach ist, dann gilt entweder N ⊆ M oder N ∩ M = {1}. 4 Punkte

2. Benutzen Sie 1. und die Einfachheit von A_{5}, um zu zeigen, daß {1}, A_{5} und S_{5} die einzigen Normalteiler von S_{5} sind. 6 Punkte

Aufgabe 12.

1. Welchen Satz über die Struktur der multiplikativen Gruppe eines endlichen Körpers kennen Sie? (kein Beweis nötig) 3 Punkte

2. Sei p eine Primzahl in ZZ. Benutzen Sie 1., um zu zeigen:

(a) Für jede Zahl a ∈ ZZ, die von p nicht geteilt wird, gilt a^{p−1} ≡ 1 (mod p). 4 Punkte (b) Für jede Zahl a ∈ ZZ gilt a^{p} ≡ a (mod p). 1 Punkt

Aufgabe 13. IF_{n} sei der endliche Körper mit n Elementen.

1. Welche Ordnung und welche Struktur hat die Galoisgruppe G der Erweiterung IF_{16} ⊇ IF_{2} ? 4 Punkte

2. Welche Fixkörper haben die Untergruppen von G ? 4 Punkte

3. Jeder Teilkörper von IF_{16} zerfällt unter der Operation des Frobenius-Automorphismus in Bahnen. Bestimmen Sie für jeden Teilkörper die Bahnlängen (mit Vielfachheiten). 6 Punkte