Klausur zur ”Algebra I“ (WS 93/94)

Bearbeitungszeit: 150 Minuten

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Bitte beachten Sie, daß \underline{ausführliche Begründungen} einen \underline{wesentlichen Teil} der Lösung einer Aufgabe bilden. Zum Bestehen der Klausur sind mindestens 50 Punkte notwendig. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Es sei K eine Halskette mit fünf Perlen.

1. Bestimmen Sie die Gruppe G der Drehungen und Spiegelungen der Ebene, welche K invariant lassen, als Untergruppe von S_{5}. 3 Punkte

2. Bestimmen Sie die Ordnung von G. 2 Punkte

3. Wieviele verschieden Färbungen (bis auf Äquivalenz) der Halsketten mit fünf Perlen gibt es, falls Sie blaue, grüne und rote Perlen zur Verfügung haben. 6 Punkte

Aufgabe 2. Bestimmen Sie, welche der folgenden Polynome irreduzibel in Q I [x] sind. Begründen Sie Ihr Antwort!

1. x^{5} − 30x^{3} + 8x + 1994, 2 Punkte

2. x^{3} + 4x^{2} − x − 1994. 4 Punkte

Aufgabe 3. Es sei α := \sqrt{2} + \sqrt{−1} ∈ Q I (\sqrt{−1}, \sqrt{2}) =: L.

1. Bestimmen Sie eine Basis B des Q I -Vektorraums L. 3 Punkte

2. Die Abbildung α^{∗} : L → L, x ↦ x · α ist bekanntlich linear (nicht mehr zu zeigen). Bestimmen Sie _{B}α^{∗}_{B}. 3 Punkte

3. Bestimmen Sie das Minimalpolynom von α über Q I . 6 Punkte

Aufgabe 4.

1. Bestimmen Sie bis auf Isomorphie alle Gruppen der Ordnung 95. 3 Punkte

2. Es sei p eine Primzahl. Ist G eine nicht kommutative Gruppe der Ordnung p^{3}, so hat das Zentrum von G die Ordnung p. Hinweis: Sie dürfen den aus der Vorlesung/Übung bekannten Satz benutzen, daß jede Gruppe der Ordnung p^{k}, k > 0, ein nicht-triviales Zentrum hat, benutzen. 5 Punkte

Aufgabe 5. Es sei f = x^{3} + 5x − 1 ∈ Q I [x].

1. Zeigen Sie, f ist irreduzibel über Q I . 3 Punkte

2. Da f irreduzibel ist, muß L = Q I [x]/(f) ein Körper sein (nicht zu zeigen). Bestimmen Sie ein Polynom g ∈ Q I [x] vom Grad kleiner 3 mit (f) + g = ((f) + 2x − 2)^{−1}. 7 Punkte Aufgabe 6. Es sei f = x^{4} − 49 ∈ Q I [x] und L ⊂ CI der Zerfällungskörper von f.

1. Bestimmen Sie die Menge M der Nullstellen von f über dem Körper CI der komplexen Zahlen. 2 Punkte

2. Bestimmen Sie G = Gal(L, Q I ) als Untergruppe von S_{M}. 6 Punkte

3. Bestimmen Sie alle Untergruppen U von G sowie für jedes U den zugehörigen Fixkörper. 6 Punkte

Aufgabe 7. Man gebe eine vollständige Definition der folgenden Begriffe:

1. Zerfällungskörper eines Polynoms f ∈ K[x]. 3 Punkte

2. Externes semidirektes Produkt zweier Gruppen. 3 Punkte

Aufgabe 8. Es sei R = Q I [x] und I das von (x^{2} + 1) ∗ (x^{2} + x + 1) erzeugte Ideal. Untersuchen Sie, ob es in R/I Nullteiler und nicht-triviale Ideale gibt. Falls ja, geben Sie ein Paar von Nullteilern bzw. ein nichttriviales Ideal an, falls nein, beweisen Sie dies. 6 Punkte

Aufgabe 9. Es sei IF_{p} der Körper mit p Elementen (p Primzahl), IF_{p}^{∗} die multiplikative Gruppe und IF_{p}^{+} die additive Gruppe von IF_{p}.

1. Für p = 7 bestimme man die Ordnung der Gruppe G = {f : IF_{p} → IF_{p}, x ↦ x ∗ a + b | a ∈ IF_{p}^{∗}, b ∈ IF_{p}^{+}} (mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen als Multiplikation). 3 Punkte

2. Man bestimme alle Sylow-7-Untergruppen von G. 3 Punkte

3. Man bestimme eine Sylow-2-Untergruppe und Sylow-3-Untergruppe von G. 4 Punkte

4. Man bestimme die \underline{Anzahl} der Sylow-3-Untergruppen von G. 5 Punkte

Aufgabe 10. Es sei n = rqp für Primzahlen r, q und p. Es sei G = ⟨a, b⟩ eine Gruppe der Ordnung 2n und es sei n die Ordnung von a.

1. Ist G auflösbar? 2 Punkte

2. Bestimmen Sie eine Kompositionsreihe K_{1} > ... > K_{m} für G, indem Sie Erzeugendensysteme für K_{i} angeben. 4 Punkte

Aufgabe 11. Es sei G eine Gruppe, N ein Normalteiler, K und H Untergruppen mit KN = HN = G und K ∩ N = H ∩ N = {1}. Zeigen Sie, das K isomorph zu H ist. 6 Punkte