2. Semesterklausur zur Algebra I (8. 2. 96)

Professor Dr. H. Pahlings, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Von den 8 gegebenen Aufgaben für insgesamt 60 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Sie brauchen insgesamt (also aus beiden Semesterklausuren zusammen) mindestens 50 Punkte, um einen Übungsschein zu erhalten. Bitte beachten Sie bei der Bearbeitung der Aufgaben, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösungen bilden. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Ordnen Sie die (hier in alphabetischer Reihenfolge angegebenen) Aussagen ”R ist euklidischer Ring“, ”R ist faktorieller Ring“, ”R ist Hauptidealring“ und ”R ist Integritätsring“ so an, daß jede aus der vorhergehenden folgt. (Ohne Begründung) 3 Punkte

Aufgabe 2. Es sei R := ZZ[i] der Ring der ganzen Gaußschen Zahlen. Wie viele Elemente hat der Restklassenring R/(2 + i)? Ist R/(2 + i) ein Körper? (Antwort jeweils mit Begründung) 8 Punkte

Aufgabe 3. Welche der folgenden Polynome sind irreduzibel? (Antwort jeweils mit Begründung)

(a) 2X^{5} − 10, jeweils als Polynom in ZZ[X] bzw. in Q I [X] bzw. in IR[X], 5 Punkte (b) X^{3} + 3X^{2} − 12X + 9 ∈ ZZ[X]. 3 Punkte

Aufgabe 4. Es sei R = Q I [X]/(X^{3} + X). Finden Sie alle Ideale von R. Welche davon sind Primideale, welche maximal? Zeichnen Sie ein Diagramm aller Ideale von R. (Begründen Sie Ihre Ergebnisse) 8 Punkte

Aufgabe 5. Es sei α ∈ CI eine Nullstelle von X^{4} + 3 und β = (1 − α + α^{2}) ∈ Q I (α). Berechnen Sie ein Polynom f ∈ Q I [X] vom Grad ≤ 3 mit f(α) = β^{−1}. 9 Punkte

Aufgabe 6. Wie viele Unterkörper kann ein Körper mit 8 Elementen haben? (Mit Begründung) 5 Punkte

Aufgabe 7. Es sei K = Q I , M = K(\sqrt{2}) und L = M(\sqrt{5}), und es sei β = \sqrt{2}.

(a) Geben Sie eine K-Basis von M, eine M-Basis von L und eine K-Basis B von L an. 2 Punkte (b) Berechnen Sie die Abbildungsmatrix _{B}[β^{•}]_{B} der durch β^{•}(x) = βx definierten K-linearen Ab-

bildung β^{•}: L → L. 4 Punkte (c) Berechnen Sie daraus die Norm N_{L/K}(β) und die Spur Tr_{L/K}(β). 3 Punkte

Aufgabe 8. Bestimmen Sie mit Hilfe des Fortsetzungssatzes die Galoisgruppe G = Gal (Q I (\sqrt{2}, i) / Q I ). Bestimmen Sie die Nullstellen des Minimalpolynoms f_{α} von α = \sqrt{2} + i über Q I in Q I (\sqrt{2}, i), und geben Sie zu jedem φ ∈ G die zugehörige Permutation dieser Nullstellen an. Geben Sie schließlich f_{α} explizit in der

Form ∑_{i=0}^{4} a_{i}X^{i} ∈ Q I [X] an. 10 Punkte