1. Nachholklausur zur ”Algebra I“ (WS 94/95)

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Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Bitte beachten Sie, daß \underline{ausführliche Begründungen} einen \underline{wesentlichen Teil} der Lösung einer Aufgabe bilden. Insgesamt werden 58 Punkte vergeben. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Es sei A eine abelsche Gruppe und ϕ die Abbildung ϕ = (a ↦ a^{−1}): A → A. Zeigen Sie, daß ϕ ein Gruppenautomorphismus von A ist. 3 Punkte

Aufgabe 2. Bestimmen Sie die Konjugiertenklassen von Elementen der alternierenden Gruppe A_{4}. 5 Punkte

Aufgabe 3. Es sei A_{4} die alternierende Gruppe vom Grad 4.

a) Man bestimme alle A_{4}-Mengen mit 5 Elementen bis auf Isomorphie. 6 Punkte b) Gibt es eine primitive A_{4}-Menge mit 6 Elementen? 2 Punkte

Aufgabe 4. Zeigen Sie, daß jede Gruppe der Ordnung 42 und 72 nicht einfach ist. 8 Punkte

Aufgabe 5. Zeigen Sie, daß alle nichtabelschen Gruppen der Ordnung 39 die gleiche Anzahl von Sylow-3-Untergruppen haben. 5 Punkte

Aufgabe 6. Zeigen Sie die folgenden Aussagen über die symmetrische Gruppe S_{n}, n ≥ 3:

a) Die Gruppe S_{n} besitzt keinen Normalteiler der Ordnung 2. 5 Punkte b) Für n > 4 ist die alternierende Gruppe A_{n} der einzige echte Normalteiler der

Gruppe S_{n}. (Hinweis: Man führe den Beweis indirekt und benutze, daß die Gruppe A_{n} einfach ist.) 6 Punkte

Aufgabe 7. Sind die Gruppen Z_{2} +^{·} Z_{12} und Z_{4} +^{·} Z_{6} isomorph? Begründen Sie ihr Antwort! 6 Punkte

Aufgabe 8. Man bestimme alle Erzeugendensysteme mit höchstens zwei Elementen für die ihnen bekannte Diedergruppe D_{8} =< a, b > mit a = (1, 2, 3, 4) und b = (1, 3). (Hinweis: Man benutze den Untergruppenverband der D_{8}.) 6 Punkte

Aufgabe 9. Es sei das folgende Quadrat Q (siehe Zeichnung) sowie fünf Farben gegeben. Es sollen die Dreiecke D_{1}, D_{2}, D_{3} und D_{4} mit diesen Farben gefärbt werden. Wieviele Typen (bezüglich Drehungen und Spiegelungen des Quadrats) von Färbungen gibt es? 6 Punkte