1. Klausur zur ”Algebra I“ (WS 94/95)

Bearbeitungszeit: 120 Minuten

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Bitte beachten Sie, daß \underline{ausführliche Begründungen} einen \underline{wesentlichen Teil} der Lösung einer Aufgabe bilden. Insgesamt werden 53 Punkte vergeben. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Beweisen Sie die folgende Aussage: Es sei 1 ≠ n ∈ ℕ. Enthält eine Gruppe G genau ein Element g der Ordnung n, so ist n = 2, und die Menge {1, g} ist ein Normalteiler von G. 2 Punkte

Aufgabe 2. Es sei G eine Gruppe. Man beweise oder widerlege die folgende Aussage: Ist M Normalteiler von G und N Normalteiler von M, so ist N auch Normalteiler von G.

3 Punkte

Aufgabe 3. Es sei G eine Gruppe. Man beweise oder widerlege die folgenden Aussagen:

i) Ist G = A ×^{.} B und sind A, B abelsche Gruppen, so ist auch G abelsch. 1 Punkt

ii) Ist G = A ×^{.} B und sind A, B zyklische Gruppen, so ist auch G zyklisch. 1 Punkt

Aufgabe 4. Es sei G eine Gruppe. Man beweise oder widerlege die folgenden Aussagen:

i) Ist N ein Normalteiler von G und haben N und G/N nur Elemente der Ordnung 1 und 11, so hat G nur Elemente der Ordnung 1 und 11. 2 Punkte

ii) Ist N ein Normalteiler von G und haben N und G/N nur Elemente der Ordnung 1 und 11, so hat G kein Element der Ordnung 13. 3 Punkte

Aufgabe 5. Es sei G die durch die Permutationen a = (2, 6)(3, 5) und b = (1, 3)(4, 5) erzeugte Untergruppe der symmetrischen Gruppe S_{6}.

i) Ist G eine Untergruppe der alternierenden Gruppe A_{6}? (Begründung!) 1 Punkt ii) Bestimmen Sie die Ordnung des Elements c = ab. 1 Punkt iii) Ist die von c erzeugte Untergruppe ⟨c⟩ von G ein Normalteiler von G? (Be-

gründung!) 2 Punkte iv) Wieviele Restklassen ⟨c⟩g mit g ∈ G gibt es? (Begründung!) 3 Punkte

Aufgabe 6. Gegeben sind die folgenden Untergruppen U = ⟨(1, 2), (1, 2, 3, 4)⟩, V = ⟨(5, 6), (5, 6, 7, 8)⟩ und W = ⟨(1, 2)(5, 6), (1, 2, 3, 4)(5, 6, 7, 8)⟩ der symmetrischen Gruppe S_{8}. Man zeige:

i) U und V sind in S_{8} konjugiert. 2 Punkte ii) U und W sind in S_{8} nicht konjugiert. 2 Punkte Aufgabe 7. Es sei G die Diedergruppe D_{8} der Ordnung 8, also G = ⟨a, b⟩ mit a = (1, 3) und b = (1, 2, 3, 4). Wieviele Isomorphietypen von transitiven G-Mengen mit 4 Elementen gibt es? (Begründung mit Zitat der relevanten Sätze!) 3 Punkte

Aufgabe 8. Es sei G eine Gruppe der Ordnung 35 und Ω eine G-Menge mit |Ω| = 18. Zeigen Sie, daß es ein Element ω ∈ Ω gibt, das von allen Elemente von G festgelassen wird.

5 Punkte

Aufgabe 9. Es sei G eine endliche Gruppe und Ω eine endliche G-Menge mit |Ω| > 1.

i) Beweisen Sie die folgende Aussage: Besitzt jedes Element von G mindestens einen Fixpunkt, so operiert G \underline{nicht} transitiv auf Ω. 3 Punkte

ii) Folgern Sie aus i) für H < G (echte Untergruppe) und Ω = G//H die Aussage: ⋃_{g∈G} g^{−1}Hg ⊂ G (echte Teilmenge). 5 Punkte

Aufgabe 10. Zeigen Sie, daß es keine einfache Gruppe der Ordnung 12, 28 oder 56 gibt. 3 Punkte

Aufgabe 11. Es sei Γ der Graph mit Eckenmenge {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} und Kantenmenge

{{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {5, 6}, {6, 7}, {7, 1}}.

(Es handelt sich also um eine ungefärbte Halskette mit sieben Perlen!) Es sei G die von den Permutationen a = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) und b = (2, 7)(3, 6)(4, 5) erzeugte Untergruppe der Automorphismengruppe von Γ.

i) Man zeige, daß alle Elemente der Ordnung 2 von G in G konjugiert sind. 3 Punkte

ii) Wieviele Typen bezüglich G von Färbungen der Ecken von Γ mit den Farben rot, blau und grün gibt es? (Begründung!) 4 Punkte

Aufgabe 12. Man bestimme (mit Beweis) alle Zerlegungen der additiv geschriebenen abelschen Gruppe G = ℤ_{8} +^{.} ℤ_{2} als innere direkte Summe zyklischer Gruppen. \underline{Eine} solche Zerlegung is ja G = A ⊕ B mit A = ⟨a⟩, B = ⟨b⟩, a = (¯1, ¯0) und b = (¯0, ¯1).

4 Punkte