Gruppe A

Scheinklausur, 1. Teil, 14.12.2001

Lineare Algebra I, WS 2001, Prof. Dr. G. Hiß

Name: Matrikelnummer:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben: Ein richtiges Kreuz ergibt +1 Punkt, ein falsches Kreuz ergibt −1 Punkt, keine Angabe zählt 0 Punkte. In jeder Aufgabe bekommen Sie mindestens 0 Punkte.

1 Sind die folgenden Aussagen richtig?

Für beliebige Mengen A, B und C gilt: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

□ Ja □ Nein

Wenn für zwei Mengen A und B gilt, dass A ∪ B = A und A ∩ B = ∅ ist, dann ist B = ∅.

□ Ja □ Nein

Wenn für drei Mengen A, B und C gilt, dass A ∩ C ≠ ∅ und B ∩ C ≠ ∅, dann ist auch A ∩ B ≠ ∅.

□ Ja □ Nein

2 Sind die folgenden Aussagen richtig?

Die Abbildung f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3}, x ↦ 4 − x ist bijektiv.

□ Ja □ Nein

Die Abbildung g : {1, 2, 3} → Pot({1, 2, 3}), x ↦ {x} ist surjektiv.

□ Ja □ Nein

Die Abbildung h : {2, 3, 5} × {5, 7, 11} → ℕ, (x, y) ↦ x · y ist injektiv.

□ Ja □ Nein

3 Es sei f : ℝ × ℝ → ℝ, (x, y) ↦ −x^{2} + y^{2}. Sind die folgenden Aussagen richtig? f ist surjektiv.

□ Ja □ Nein
f^{−1}({0}) = {(0, 0)}. □ Ja □ Nein

Jede Faser von f hat unendlich viele Elemente.

□ Ja □ Nein

4 Sind die folgenden Aussagen richtig?

Jedes lineare Gleichungssystem hat eine Lösungsmenge.

□ Ja □ Nein

Jedes homogene lineare Gleichungssystem mit mehr Unbekannten als Gleichungen hat mindestens zwei Lösungen.

□ Ja □ Nein

Jedes inhomogene lineare Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Unbekannten ist unlösbar.

□ Ja □ Nein

5 Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und U und W Untervektorräume von V. Sind die folgenden Aussagen richtig? Wenn U ∩ W ≠ U ist, dann ist W ≠ U + W.

□ Ja □ Nein

U ∪ W ist ein Untervektorraum von V.

□ Ja □ Nein

Falls W ⊆ U ist, so ist W ein Untervektorraum von U.

□ Ja □ Nein

6 Sind die folgenden Aussagen richtig?

Ist M eine endliche Menge, dann hat jede Partition von M höchstens so viele Teile wie M Elemente hat.

□ Ja □ Nein

Die Anzahl der Partitionen der Menge {1, 2, 3, 4}, bei denen 1 und 2 im selben Teil liegen, ist 8.

□ Ja □ Nein

Ist f : M → N eine surjektive Abbildung zwischen den nicht-leeren Mengen M und N, dann bilden die Fasern von f eine Partition von M.

□ Ja □ Nein

7 In dieser Aufgabe sei K ein Körper. Sind die folgenden Aussagen richtig?

Ist A ∈ K^{n×m}, dann ist A^{t} · A ∈ K^{m×m}.

□ Ja □ Nein

Ist A ∈ K^{1×16} und B ∈ K^{17×1}, dann hat die Matrix A^{t} · B^{t} genau 16 Zeilen und genau 17 Spalten.

□ Ja □ Nein

Sind A und B invertierbare Matrizen aus K^{12×12}, dann ist A^{t}−B^{t} auch eine invertierbare Matrix.

□ Ja □ Nein

8 In dieser Aufgabe sei K ein Körper und φ : V → W eine K-lineare Abbildung zwischen den endlich-erzeugten K-Vektorräumen V und W. Sind die folgenden Aussagen richtig? Für eine beliebige Menge M ⊆ V gilt φ(⟨M⟩) = ⟨φ(M)⟩.

□ Ja □ Nein

Ist B ⊆ W eine Basis von W und ist φ surjektiv, dann ist φ^{−1}(B) eine Basis von V.

□ Ja □ Nein

Ist (v_{1}, v_{2}, v_{3}) eine geordnete Basis von V, dann hat {v_{1}, v_{2}, v_{3}} genau 3 Elemente und ist eine Basis von V.

□ Ja □ Nein

Ist φ injektiv, dann gilt dim_{K}(V) < dim_{K}(W).

□ Ja □ Nein

Scheinklausur 1. Teil, WS 2001, Gruppe A

Beantworten Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an. 9 Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems über dem

Körper 𝔽_{2} = {0, 1} mit zwei Elementen:

\begin{aligned}x_{1} + x_{3} + x_{4} & = & 1 \\ x_{2} + x_{3} + x_{4} & = & 0 \\ x_{1} + x_{3} & = & 1 \\ x_{2} + x_{3} & = & 0 \end{aligned}

(4 Punkte)

10 Berechnen Sie für alle n ∈ ℕ die Einträge der Matrix

( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} )^{n} = \underbrace{( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) · · · · · ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} )}_{n Faktoren} ∈ ℝ^{2×2}.

Vergessen Sie nicht, Ihr Ergebnis zu beweisen. (3 Punkte)

11 Seien V und W Vektorräume über einem Körper K und seien v_{1}, v_{2} ∈ V zwei verschiedene Elemente. Weiter sei φ : V → W eine lineare Abbildung mit φ(v_{1}) = φ(v_{2}) ≠ 0. Beweisen Sie, dass (v_{1}, v_{2}) linear unabhängig ist. (5 Punkte)

12 Es sei

\begin{aligned}φ & : & ℚ^{2×2} & ⟶ & ℚ^{2×2} \\ & & A & ⟼ & A + A^{t} \end{aligned} .

Zeigen Sie:

(i) φ ist eine ℚ-lineare Abbildung. (2 Punkte)

(ii) Kern φ = \{( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ ℚ^{2×2}| a = d = 0 und b = −c\}. (2 Punkte)

(iii) Bild φ = {A ∈ ℚ^{2×2} | A = A^{t}}. (2 Punkte)

13

Es seien E := E_{2} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{2×2} und A := ( \begin{matrix}0 & 3 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{2×2} Elemente des ℚ-

Vektorraums ℚ^{2×2}. Wir setzen L := ⟨E, A⟩. Zeigen Sie:

(i) dim_{ℚ} L = 2. (1 Punkte)

(ii) L mit Matrixaddition und Matrixmultiplikation ist ein Ring. (2 Punkte)

(iii) L mit Matrixaddition und Matrixmultiplikation ist ein Körper. (2 Punkte)

(iv) Es sei M := ℚ(\sqrt{3}) = \{a + b\sqrt{3} ∈ ℝ | a, b ∈ ℚ\}.

Die Abbildung φ : L → M, a · E + b · A ↦ a + b\sqrt{3} (für alle a, b ∈ ℚ) ist ein bijektiver Ringhomomorphismus. (2 Punkte)

Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass \sqrt{3} ∉ ℚ ist, und dass ℚ^{2×2} ein Ring ist.

Gruppe B

Scheinklausur, 1. Teil, 14.12.2001

Lineare Algebra I, WS 2001, Prof. Dr. G. Hiß

Name: Matrikelnummer:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben: Ein richtiges Kreuz ergibt +1 Punkt, ein falsches Kreuz ergibt −1 Punkt, keine Angabe zählt 0 Punkte. In jeder Aufgabe bekommen Sie mindestens 0 Punkte.

1 Sind die folgenden Aussagen richtig?

Jedes lineare Gleichungssystem hat eine Lösungsmenge.

□ Ja □ Nein

Jedes homogene lineare Gleichungssystem mit mehr Unbekannten als Gleichungen hat mindestens zwei Lösungen.

□ Ja □ Nein

Jedes inhomogene lineare Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Unbekannten ist unlösbar.

□ Ja □ Nein

2 Es sei f : ℝ × ℝ → ℝ, (x, y) ↦ −x^{2} + y^{2}. Sind die folgenden Aussagen richtig? f ist surjektiv.

□ Ja □ Nein
f^{−1}({0}) = {(0, 0)}. □ Ja □ Nein

Jede Faser von f hat unendlich viele Elemente.

□ Ja □ Nein

3 Sind die folgenden Aussagen richtig?

Die Abbildung f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3}, x ↦ 4 − x ist bijektiv.

□ Ja □ Nein

Die Abbildung g : {1, 2, 3} → Pot({1, 2, 3}), x ↦ {x} ist surjektiv.

□ Ja □ Nein

Die Abbildung h : {2, 3, 5} × {5, 7, 11} → ℕ, (x, y) ↦ x · y ist injektiv.

□ Ja □ Nein

4 Sind die folgenden Aussagen richtig?

Für beliebige Mengen A, B und C gilt: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

□ Ja □ Nein

Wenn für zwei Mengen A und B gilt, dass A ∪ B = A und A ∩ B = ∅ ist, dann ist B = ∅.

□ Ja □ Nein

Wenn für drei Mengen A, B und C gilt, dass A ∩ C ≠ ∅ und B ∩ C ≠ ∅, dann ist auch A ∩ B ≠ ∅.

□ Ja □ Nein

5 In dieser Aufgabe sei K ein Körper und φ : V → W eine K-lineare Abbildung zwischen den endlich-erzeugten K-Vektorräumen V und W. Sind die folgenden Aussagen richtig? Für eine beliebige Menge M ⊆ V gilt φ(⟨M⟩) = ⟨φ(M)⟩.

□ Ja □ Nein

Ist B ⊆ W eine Basis von W und ist φ surjektiv, dann ist φ^{−1}(B) eine Basis von V.

□ Ja □ Nein

Ist (v_{1}, v_{2}, v_{3}) eine geordnete Basis von V, dann hat {v_{1}, v_{2}, v_{3}} genau 3 Elemente und ist eine Basis von V.

□ Ja □ Nein

Ist φ injektiv, dann gilt dim_{K}(V) < dim_{K}(W).

□ Ja □ Nein

6 In dieser Aufgabe sei K ein Körper. Sind die folgenden Aussagen richtig?

Ist A ∈ K^{n×m}, dann ist A^{t} · A ∈ K^{m×m}.

□ Ja □ Nein

Ist A ∈ K^{1×16} und B ∈ K^{17×1}, dann hat die Matrix A^{t} · B^{t} genau 16 Zeilen und genau 17 Spalten.

□ Ja □ Nein

Sind A und B invertierbare Matrizen aus K^{12×12}, dann ist A^{t}−B^{t} auch eine invertierbare Matrix.

□ Ja □ Nein

7 Sind die folgenden Aussagen richtig?

Ist M eine endliche Menge, dann hat jede Partition von M höchstens so viele Teile wie M Elemente hat.

□ Ja □ Nein

Die Anzahl der Partitionen der Menge {1, 2, 3, 4}, bei denen 1 und 2 im selben Teil liegen, ist 8.

□ Ja □ Nein

Ist f : M → N eine surjektive Abbildung zwischen den nicht-leeren Mengen M und N, dann bilden die Fasern von f eine Partition von M.

□ Ja □ Nein

8 Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und U und W Untervektorräume von V. Sind die folgenden Aussagen richtig? Wenn U ∩ W ≠ U ist, dann ist W ≠ U + W.

□ Ja □ Nein

U ∪ W ist ein Untervektorraum von V.

□ Ja □ Nein

Falls W ⊆ U ist, so ist W ein Untervektorraum von U.

□ Ja □ Nein

Scheinklausur 1. Teil, WS 2001, Gruppe B

Beantworten Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an. 9 Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems über dem

Körper 𝔽_{2} = {0, 1} mit zwei Elementen:

\begin{aligned}x_{1} + x_{3} + x_{4} & = & 1 \\ x_{2} + x_{3} + x_{4} & = & 0 \\ x_{1} + x_{3} & = & 1 \\ x_{2} + x_{3} & = & 0 \end{aligned}

(4 Punkte)

10 Berechnen Sie für alle n ∈ ℕ die Einträge der Matrix

( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} )^{n} = \underbrace{( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) · · · · · ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} )}_{n Faktoren} ∈ ℝ^{2×2}.

Vergessen Sie nicht, Ihr Ergebnis zu beweisen. (3 Punkte)

11 Seien V und W Vektorräume über einem Körper K und seien v_{1}, v_{2} ∈ V zwei verschiedene Elemente. Weiter sei φ : V → W eine lineare Abbildung mit φ(v_{1}) = φ(v_{2}) ≠ 0. Beweisen Sie, dass (v_{1}, v_{2}) linear unabhängig ist. (5 Punkte)

12 Es sei

\begin{aligned}φ & : & ℚ^{2×2} & ⟶ & ℚ^{2×2} \\ & & A & ⟼ & A + A^{t} \end{aligned} .

Zeigen Sie:

(i) φ ist eine ℚ-lineare Abbildung. (2 Punkte)

(ii) Kern φ = \{( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ ℚ^{2×2}| a = d = 0 und b = −c\}. (2 Punkte)

(iii) Bild φ = {A ∈ ℚ^{2×2} | A = A^{t}}. (2 Punkte)

13

Es seien E := E_{2} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{2×2} und A := ( \begin{matrix}0 & 3 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{2×2} Elemente des ℚ-

Vektorraums ℚ^{2×2}. Wir setzen L := ⟨E, A⟩. Zeigen Sie:

(i) dim_{ℚ} L = 2. (1 Punkte)

(ii) L mit Matrixaddition und Matrixmultiplikation ist ein Ring. (2 Punkte)

(iii) L mit Matrixaddition und Matrixmultiplikation ist ein Körper. (2 Punkte)

(iv) Es sei M := ℚ(\sqrt{3}) = \{a + b\sqrt{3} ∈ ℝ | a, b ∈ ℚ\}.

Die Abbildung φ : L → M, a · E + b · A ↦ a + b\sqrt{3} (für alle a, b ∈ ℚ) ist ein bijektiver Ringhomomorphismus. (2 Punkte)

Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass \sqrt{3} ∉ ℚ ist, und dass ℚ^{2×2} ein Ring ist.