25.3.2002

Vordiplomsklausur zur Linearen Algebra I

Prof. Dr. G. Hiß

Tragen Sie bitte auf diesem Deckblatt leserlich und in Blockbuchstaben Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein und unterschreiben Sie.

Name:

Vorname:

Matrikelnummer:

Eigenhändige Unterschrift:

Krz Rech  11  12  13  14  Σ Zensur Zus.Prüf. Gesamt

Punkte

Nachk.

Zum Ankreuzteil:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung: Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Wenn Sie bei einer Frage unsicher sind, machen Sie einfach kein Kreuz. Sie brauchen Ihre Kreuze nicht zu begründen!

Zu den Rechenaufgaben:

In diesem Teil müssen Sie Ihre Aussagen nicht begründen. Es zählt nur das richtige Ergebnis.

Zu den Aufgaben mit Begründungen:

In diesem Teil müssen Sie alle Aussagen begründen. Natürlich brauchen Sie Aussagen aus der Vorlesung nicht noch einmal zu beweisen.

Klausureinsicht: _{(Eigenhändige Unterschrift)}

Gruppe A

Vordiplomsklausur, Ankreuzteil, 25.3.2002

Lineare Algebra I, Prof. Dr. G. Hiß

Name: Matrikelnummer:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben: Ein richtiges Kreuz ergibt +1 Punkt, ein falsches Kreuz ergibt −1 Punkt, keine Angabe zählt 0 Punkte. In jeder Aufgabe bekommen Sie mindestens 0 Punkte.

1 Sind die folgenden Aussagen richtig?

Jedes lineare Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Unbekannten hat höchstens eine Lösung.

□ Ja □ Nein

Ein homogenes lineares Gleichungssystem mit genau einer Lösung hat mindestens so viele Gleichungen wie Unbekannte.

□ Ja □ Nein

Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit weniger Gleichungen als Unbekannten hat mindestens zwei verschiedene Lösungen.

□ Ja □ Nein

2 Seien V und W endlich-dimensionale Vektorräume über einem Körper K und φ : V → W eine K-lineare Abbildung. Weiter seien X ⊆ V und Y ⊆ W endliche Teilmengen. Sind die folgenden Aussagen richtig? Falls φ injektiv ist und X linear unabhängig ist, so ist φ(X) auch linear unabhängig und hat genau so viele Elemente wie X.

□ Ja □ Nein

Falls φ surjektiv ist, sowie Y = φ(X) und Y linear unabhängig, so ist auch X linear unabhängig.

□ Ja □ Nein

Falls X und Y linear unabhängig sind und X und Y gleich viele Elemente besitzen, so gibt es eine lineare Abbildung ψ : V → W mit ψ(X) = Y.

□ Ja □ Nein

3 Sind die folgenden Aussagen über Untervektorräume richtig?

Für jeden Körper K und jedes n ∈ ℕ bilden die Polynome vom Grad ≤ n zusammen mit dem Nullpolynom einen K-Untervektorraum des Polynomringes K[X].

□ Ja □ Nein

{f : ℝ → ℝ | f ist beschränkt} ist ein ℝ-Untervektorraum von ℝ^{ℝ}.

□ Ja □ Nein

Für einen Körper K und n, m ∈ ℕ ist die Teilmenge der Matrizen in K^{n×m}, deren Einträge die Summe Null haben, ein Untervektorraum von K^{n×m}.

□ Ja □ Nein

4 Es seien K ein Körper und φ : V → W und ψ : W → V lineare Abbildungen zwischen den K-Vektorräumen V und W. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Kern (ψ ∘ φ) ⊆ Kern φ

□ Ja □ Nein

Bild (ψ ∘ φ) ⊆ Bild ψ

□ Ja □ Nein

Kern (ψ ∘ φ) ⊆ Bild (φ ∘ ψ)

□ Ja □ Nein

5 Sind die folgenden Aussagen richtig?

Sei n ∈ ℕ und A ∈ GL_{n}(ℤ). Dann gilt det(A) = det(A^{−1}).

□ Ja □ Nein

Sei K ein Körper, n ∈ ℕ und A ∈ K^{n×n}. Dann ist A genau dann invertierbar, wenn det(A) in K invertierbar ist.

□ Ja □ Nein

Sei K ein Körper, n ∈ ℕ und A, B, C ∈ K^{n×n}. Falls det(A(B + C)) ≠ 0 ist, so ist mindestens eine der Matrizen B oder C invertierbar.

□ Ja □ Nein

6 Sei n ∈ ℕ. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Falls n ungerade ist und A ∈ ℝ^{n×n} ist, so besitzt A einen Eigenwert in ℝ.

□ Ja □ Nein

Sei K ein Körper und A ∈ K^{n×n}. Weiter sei v ein Eigenvektor von A zu einem Eigenwert a ∈ K und w ein Eigenvektor von A zu einem Eigenwert b ∈ K und v ≠ w. Genau dann ist v − w auch ein Eigenvektor von A, wenn a = b gilt.

□ Ja □ Nein

Sei A ∈ ℂ^{n×n} und v Eigenvektor von A zu einem Eigenwert a ∈ ℂ mit a ≠ 0. Dann ist −v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert −a.

□ Ja □ Nein

Name: Matrikelnummer:

Vordiplomsklausur, 25.3.2002, Rechenteil, Gruppe A

Bearbeiten Sie die folgenden Rechenaufgaben und schreiben Sie die Ergebnisse in die dafür vorgesehenen Kästchen. Sie brauchen Ihre Ergebnisse nicht zu begründen, für Begründungen und Ansätze gibt es aber auch keine Punkte. Für jede richtige Antwort bekommen Sie die angegebene Punktzahl. Für falsche Antworten gibt es Null Punkte. 7 Es sei φ : ℚ^{2×2} → ℚ^{2×2} durch

φ(A) := A + 2 · A^{t}.

gegeben. Berechnen Sie die Matrix M_{C}^{B}(φ) der linearen Abbildung φ bezüglich der geordneten Basen

B := (( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ))

und

C := (( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )) .

M_{C}^{B}(φ) = (  )

(1 Punkt pro richtiger Spalte: insgesamt 4 Punkte)

8 Es sei 𝔽_{5} = {0, 1, 2, 3, 4} der Körper mit 5 Elementen und A ∈ 𝔽_{5}^{4×4} und b ∈ 𝔽_{5}^{4×1} gegeben durch:

A := ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 3 & 0 & 2 & 2 \end{matrix} ) b := ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} ) .

Berechnen Sie die Inverse A^{−1} und bestimmen Sie die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b für x ∈ 𝔽_{5}^{4×1}.

A^{−1} = (  )  x = (  ) .

(4 Punkte für A^{−1} und 1 Punkt für x: insgesamt 5 Punkte)

9 Es sei V = ℝ^{3×1} mit dem Standardskalarprodukt und B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) die folgende geordnete Basis von V:

B := (( \begin{matrix}0 \\ −2 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 4 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−6 \\ 9 \\ 3 \end{matrix} )) .

Geben Sie eine Orthonormalbasis C = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) von V an für die gilt: ⟨v_{1}⟩ = ⟨w_{1}⟩ und ⟨v_{1}, v_{2}⟩ = ⟨w_{1}, w_{2}⟩.

w_{1} = (  )  w_{2} = (  )  w_{3} = (  )

(1 Punkt pro richtiger Spalte: insgesamt 3 Punkte)

10 Es sei A ∈ ℚ^{4×4} die folgende Matrix:

A := ( \begin{matrix}1 & 0 & −12 & 1 \\ −7 & 2 & 5 & −3 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ −2 & 0 & −47 & 4 \end{matrix} ) .

(i) Berechnen Sie das charakteristische Polynom χ_{A} von A:

χ_{A} = (2 Punkte)

(ii) Geben Sie die Eigenwerte von A an:

Eigenwerte von A: (1 Punkt)

(iii) Geben Sie die Dimensionen der Eigenräume an:

Dimensionen der Eigenräume von A: (2 Punkte)

Vordiplomsklausur, 25.3.2002, schriftlicher Teil, Gruppe A

Beantworten Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an. 11 Es sei K ein Körper, n ∈ ℕ mit n ≥ 2 und v ∈ K^{n×1} ein Spaltenvektor ungleich 0. Weiter sei

A := v · v^{t}. Zeigen Sie, dass A den Eigenwert 0 hat. Welche Dimension hat der Eigenraum von A zum Eigenwert 0? (4 Punkte)

12 Für welche n ∈ ℕ gilt die folgende Aussage?

Für alle A ∈ ℚ^{n×n} gilt A · A^{t} = A^{t} · A. Vergessen Sie nicht die Begründung. (4 Punkte) 13 Es sei K ein Körper, n ∈ ℕ und A ∈ K^{n×n} eine invertierbare Matrix. Zeigen Sie, dass es dann

ein Polynom f ∈ K[X] gibt, so dass f(A) = A^{−1} ist. (4 Punkte) 14 Es sei K ein Körper, 2 ≤ n ∈ ℕ und A ∈ K^{n×n} eine diagonalisierbare Matrix. Zeigen Sie,

dass dann für jedes Polynom f ∈ K[X] die Matrix f(A) auch diagonalisierbar ist. (3 Punkte)

Gruppe B

Vordiplomsklausur, Ankreuzteil, 25.3.2002

Lineare Algebra I, Prof. Dr. G. Hiß

Name: Matrikelnummer:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben: Ein richtiges Kreuz ergibt +1 Punkt, ein falsches Kreuz ergibt −1 Punkt, keine Angabe zählt 0 Punkte. In jeder Aufgabe bekommen Sie mindestens 0 Punkte.

1 Sind die folgenden Aussagen richtig?

Sei n ∈ ℕ und A ∈ GL_{n}(ℤ). Dann gilt det(A) = det(A^{−1}).

□ Ja □ Nein

Sei K ein Körper, n ∈ ℕ und A ∈ K^{n×n}. Dann ist A genau dann invertierbar, wenn det(A) in K invertierbar ist.

□ Ja □ Nein

Sei K ein Körper, n ∈ ℕ und A, B, C ∈ K^{n×n}. Falls det(A(B + C)) ≠ 0 ist, so ist mindestens eine der Matrizen B oder C invertierbar.

□ Ja □ Nein

2 Sei n ∈ ℕ. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Falls n ungerade ist und A ∈ ℝ^{n×n} ist, so besitzt A einen Eigenwert in ℝ.

□ Ja □ Nein

Sei K ein Körper und A ∈ K^{n×n}. Weiter sei v ein Eigenvektor von A zu einem Eigenwert a ∈ K und w ein Eigenvektor von A zu einem Eigenwert b ∈ K und v ≠ w. Genau dann ist v − w auch ein Eigenvektor von A, wenn a = b gilt.

□ Ja □ Nein

Sei A ∈ ℂ^{n×n} und v Eigenvektor von A zu einem Eigenwert a ∈ ℂ mit a ≠ 0. Dann ist −v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert −a.

□ Ja □ Nein

3 Seien V und W endlich-dimensionale Vektorräume über einem Körper K und φ : V → W eine K-lineare Abbildung. Weiter seien X ⊆ V und Y ⊆ W endliche Teilmengen. Sind die folgenden Aussagen richtig? Falls φ injektiv ist und X linear unabhängig ist, so ist φ(X) auch linear unabhängig und hat genau so viele Elemente wie X.

□ Ja □ Nein

Falls φ surjektiv ist, sowie Y = φ(X) und Y linear unabhängig, so ist auch X linear unabhängig.

□ Ja □ Nein

Falls X und Y linear unabhängig sind und X und Y gleich viele Elemente besitzen, so gibt es eine lineare Abbildung ψ : V → W mit ψ(X) = Y.

□ Ja □ Nein

4 Sind die folgenden Aussagen richtig?

Jedes lineare Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Unbekannten hat höchstens eine Lösung.

□ Ja □ Nein

Ein homogenes lineares Gleichungssystem mit genau einer Lösung hat mindestens so viele Gleichungen wie Unbekannte.

□ Ja □ Nein

Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit weniger Gleichungen als Unbekannten hat mindestens zwei verschiedene Lösungen.

□ Ja □ Nein

5 Sind die folgenden Aussagen über Untervektorräume richtig?

Für jeden Körper K und jedes n ∈ ℕ bilden die Polynome vom Grad ≤ n zusammen mit dem Nullpolynom einen K-Untervektorraum des Polynomringes K[X].

□ Ja □ Nein

{f : ℝ → ℝ | f ist beschränkt} ist ein ℝ-Untervektorraum von ℝ^{ℝ}.

□ Ja □ Nein

Für einen Körper K und n, m ∈ ℕ ist die Teilmenge der Matrizen in K^{n×m}, deren Einträge die Summe Null haben, ein Untervektorraum von K^{n×m}.

□ Ja □ Nein

6 Es seien K ein Körper und φ : V → W und ψ : W → V lineare Abbildungen zwischen den K-Vektorräumen V und W. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Kern (ψ ∘ φ) ⊆ Kern φ

□ Ja □ Nein

Bild (ψ ∘ φ) ⊆ Bild ψ

□ Ja □ Nein

Kern (ψ ∘ φ) ⊆ Bild (φ ∘ ψ)

□ Ja □ Nein

Name: Matrikelnummer:

Vordiplomsklausur, 25.3.2002, Rechenteil, Gruppe B

Bearbeiten Sie die folgenden Rechenaufgaben und schreiben Sie die Ergebnisse in die dafür vorgesehenen Kästchen. Sie brauchen Ihre Ergebnisse nicht zu begründen, für Begründungen und Ansätze gibt es aber auch keine Punkte. Für jede richtige Antwort bekommen Sie die angegebene Punktzahl. Für falsche Antworten gibt es Null Punkte. 7 Es sei 𝔽_{5} = {0, 1, 2, 3, 4} der Körper mit 5 Elementen und A ∈ 𝔽_{5}^{4×4} und b ∈ 𝔽_{5}^{4×1} gegeben

durch:

A := ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 3 & 0 & 2 & 2 \end{matrix} ) b := ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} ) .

Berechnen Sie die Inverse A^{−1} und bestimmen Sie die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b für x ∈ 𝔽_{5}^{4×1}.

A^{−1} = (  )  x = (  ) .

(4 Punkte für A^{−1} und 1 Punkt für x: insgesamt 5 Punkte)

8 Es sei φ : ℚ^{2×2} → ℚ^{2×2} durch

φ(A) := A + 2 · A^{t}.

gegeben. Berechnen Sie die Matrix M_{C}^{B}(φ) der linearen Abbildung φ bezüglich der geordneten Basen

B := (( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ))

und

C := (( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )) .

M_{C}^{B}(φ) = (  )

(1 Punkt pro richtiger Spalte: insgesamt 4 Punkte)

9 Es sei A ∈ ℚ^{4×4} die folgende Matrix:

A := ( \begin{matrix}1 & 0 & −12 & 1 \\ −7 & 2 & 5 & −3 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ −2 & 0 & −47 & 4 \end{matrix} ) .

(i) Berechnen Sie das charakteristische Polynom χ_{A} von A:

χ_{A} = (2 Punkte)

(ii) Geben Sie die Eigenwerte von A an:

Eigenwerte von A: (1 Punkt)

(iii) Geben Sie die Dimensionen der Eigenräume an:

Dimensionen der Eigenräume von A: (2 Punkte)

10 Es sei V = ℝ^{3×1} mit dem Standardskalarprodukt und B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) die folgende geordnete Basis von V:

B := (( \begin{matrix}0 \\ −2 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 4 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−6 \\ 9 \\ 3 \end{matrix} )) .

Geben Sie eine Orthonormalbasis C = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) von V an für die gilt: ⟨v_{1}⟩ = ⟨w_{1}⟩ und

⟨v_{1}, v_{2}⟩ = ⟨w_{1}, w_{2}⟩.

w_{1} = (  )  w_{2} = (  )  w_{3} = (  )

(1 Punkt pro richtiger Spalte: insgesamt 3 Punkte) Vordiplomsklausur, 25.3.2002, schriftlicher Teil, Gruppe B

Beantworten Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an. 11 Es sei K ein Körper, n ∈ ℕ mit n ≥ 2 und v ∈ K^{n×1} ein Spaltenvektor ungleich 0. Weiter sei

A := v · v^{t}. Zeigen Sie, dass A den Eigenwert 0 hat. Welche Dimension hat der Eigenraum von A zum Eigenwert 0? (4 Punkte)

12 Für welche n ∈ ℕ gilt die folgende Aussage?

Für alle A ∈ ℚ^{n×n} gilt A · A^{t} = A^{t} · A. Vergessen Sie nicht die Begründung. (4 Punkte) 13 Es sei K ein Körper, n ∈ ℕ und A ∈ K^{n×n} eine invertierbare Matrix. Zeigen Sie, dass es dann

ein Polynom f ∈ K[X] gibt, so dass f(A) = A^{−1} ist. (4 Punkte) 14 Es sei K ein Körper, 2 ≤ n ∈ ℕ und A ∈ K^{n×n} eine diagonalisierbare Matrix. Zeigen Sie,

dass dann für jedes Polynom f ∈ K[X] die Matrix f(A) auch diagonalisierbar ist. (3 Punkte)