6.3.2006

Scheinklausur zur Linearen Algebra I, WS 05/06, Nachholklausur

Prof. Dr. G. Hiß

Tragen Sie bitte auf diesem Deckblatt leserlich und in Blockbuchstaben Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein und unterschreiben Sie.

Name:

Vorname:

Matrikelnummer:

Eigenhändige Unterschrift:

Krz  Erg  8  9  10  11  Σ

Punkte

Nachk.

Zum Ankreuzteil:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung: Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Wenn Sie bei einer Frage unsicher sind, machen Sie einfach kein Kreuz. Sie brauchen Ihre Kreuze nicht zu begründen!

Zum Ergebnisteil:

In diesem Teil müssen Sie Ihre Aussagen nicht begründen. Es zählt nur das richtige Ergebnis.

Zu den Aufgaben mit Begründungen:

In diesem Teil müssen Sie alle Aussagen begründen. Natürlich brauchen Sie Aussagen aus der Vorlesung nicht noch einmal zu beweisen, es sei denn, es ist explizit gefordert.

Gruppe A

Nachholklausur, 6.3.2006

Lineare Algebra I, WS 2005/06, Prof. Dr. G. Hiß

Name: Matrikelnummer:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben: Ein richtiges Kreuz ergibt +1 Punkt, ein falsches Kreuz ergibt −1 Punkt, keine Angabe zählt 0 Punkte. In jeder Aufgabe bekommen Sie mindestens 0 Punkte.

1 Sind die folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme richtig?

Jedes homogene lineare Gleichungssystem mit mehr Unbekannten als Gleichungen hat mindestens 2 Lösungen.

□ Ja □ Nein

Jedes inhomogene lineare Gleichungssystem über ℝ mit weniger Unbekannten als Gleichungen hat keine Lösungen.

□ Ja □ Nein

Ein lineares Gleichungssystem Ax = b mit A ∈ ℚ^{m×n} und b ∈ ℚ^{m×1} hat genau dann eine Lösung, wenn b im Spaltenraum von A liegt.

□ Ja □ Nein

2 Es seien K ein Körper und φ : V → W und ψ : W → V lineare Abbildungen zwischen den K-Vektorräumen V und W. Welche der folgenden Aussagen sind in dieser Situation immer wahr? Bild ψ ⊆ Bild ψ ∘ φ

□ Ja □ Nein

Kern φ ⊆ Kern ψ ∘ φ

□ Ja □ Nein

Bild ψ ∘ φ ⊆ Bild φ ∘ ψ

□ Ja □ Nein

Kern φ ∘ ψ ∘ φ = Kern φ

□ Ja □ Nein

3 Es sei K ein Körper, n ∈ ℕ \ {0, 1} und A, B, C ∈ K^{n×n}.

Es gilt det(A − B) = det(A) − det(B) + det(AB).

□ Ja □ Nein

Ist det(AB) = 1, dann ist A invertierbar und B = A^{−1}.

□ Ja □ Nein

Ist A invertierbar, so gilt det(A^{2}) ≠ 0.

□ Ja □ Nein

Für a ∈ K ist det(aA) = a^{n} det(A).

□ Ja □ Nein

4 Es sei n ∈ ℕ \ {0, 1}, a, b ∈ ℝ und A, B ∈ ℝ^{n×n}.

Ist v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert a und ein Eigenvektor von B zum Eigenwert b, dann ist v ein Eigenvektor von AB zum Eigenwert a · b.

□ Ja □ Nein

Falls n gerade ist, so hat B mindestens einen Eigenvektor.

□ Ja □ Nein

Hat A paarweise verschiedene Eigenwerte a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ und ist AB = BA, dann ist B diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

5 Es sei f : M → N eine Abbildung zwischen zwei nicht-leeren Mengen M und N. Sind die folgenden Aussagen richtig? Wenn f keine leeren Fasern hat, dann ist f surjektiv.

□ Ja □ Nein

Wenn jede Faser genau ein Element hat, dann ist f bijektiv.

□ Ja □ Nein

f ist genau dann bijektiv, wenn jede Faser höchstens ein Element hat.

□ Ja □ Nein

Lineare Algebra I, WS 2005/06, Nachholklausur, 6.3.2006, Gruppe A

Bearbeiten Sie die folgenden Rechenaufgaben und schreiben Sie die Ergebnisse in die dafür vorgesehenen Kästchen. Sie brauchen Ihre Ergebnisse nicht zu begründen, für Begründungen und Ansätze gibt es aber auch keine Punkte. Für die richtige Antwort bekommen Sie die angegebene Punktzahl. Für eine falsche Antwort gibt es Null Punkte. 6 Es sei 𝔽_{2} = {0, 1} der Körper mit 2 Elementen. Bestimmen Sie die Menge aller x ∈ 𝔽_{2}^{5×1} mit

Ax = b, wobei A ∈ 𝔽_{2}^{4×5} und b ∈ 𝔽_{2}^{4×1} die folgenden sind: (6 Punkte)

A := [ \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ] , b := [ \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ] Ergebnis:

7 Berechnen Sie die Determinante, das charakteristische Polynom χ_{A} und einen Eigenvektor v der folgenden Matrix A ∈ ℚ^{3×3}:

A = [ \begin{matrix}4 & −9 & 0 \\ 5 & −11 & −5 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ]

det(A) = (2 Punkte)

χ_{A} = (2 Punkte)

v^{t} = (3 Punkte)

Beantworten Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an. 8 Es sei A ∈ ℝ^{3×3} eine Matrix, für die A^{3} + A^{2} + A + E_{3} = 0 ist, wobei E_{3} die 3 × 3-

Einheitsmatrix ist.

(a) Zeigen Sie, dass das Minimalpolynom μ_{A} von A ein Teiler von X^{4} − 1 ist.

(2 Punkte)

(b) Es sei zusätzlich A^{2} = [ \begin{matrix}−1 & 2 & 4 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ]. Was ist dann A^{2006}? (2 Punkte)

9 Es seien K ein Körper, V und W K-Vektorräume und φ : V → W eine K-lineare Abbildung. Zeigen Sie: Sind v, w ∈ V und ist (φ(v), φ(w)) linear unabhängig, dann ist (v, w) linear unabhängig. (4 Punkte)

10 Es seien n ∈ ℕ mit n ≥ 2 und X, Y ∈ ℚ^{n×n} zwei Matrizen. Zeigen Sie, dass die Menge

{A ∈ ℚ^{n×n} | AX = Y A} ein Untervektorraum von ℚ^{n×n} ist. (4 Punkte) 11 Es sei n ∈ ℕ \ {0, 1} und ( , ) : ℂ^{n×1} × ℂ^{n×1} → ℂ eine beliebige Sesquilinearform auf

ℂ^{n×1}. Weiter sei A ∈ ℂ^{n×n} und φ_{A} : ℂ^{n×1} → ℂ^{n×1}, v ↦ Av. Es gelte (Av, w) = (v, Aw) für alle v, w ∈ ℂ^{n×1} (das heißt, φ_{A} ist selbstadjungiert bezüglich ( , )). Sei v ∈ ℂ^{n×1} ein Eigenvektor von φ_{A} zum Eigenwert a und w ∈ ℂ^{n×1} ein Eigenvektor von φ_{A} zum Eigenwert b mit a ≠ b̄. Zeigen Sie, dass (v, w) = 0 ist. (4 Punkte)

Gruppe B

Nachholklausur, 6.3.2006

Lineare Algebra I, WS 2005/06, Prof. Dr. G. Hiß

Name: Matrikelnummer:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben: Ein richtiges Kreuz ergibt +1 Punkt, ein falsches Kreuz ergibt −1 Punkt, keine Angabe zählt 0 Punkte. In jeder Aufgabe bekommen Sie mindestens 0 Punkte.

1 Es sei f : M → N eine Abbildung zwischen zwei nicht-leeren Mengen M und N. Sind die folgenden Aussagen richtig? f ist genau dann bijektiv, wenn jede Faser höchstens ein Element hat.

□ Ja □ Nein

Wenn jede Faser genau ein Element hat, dann ist f bijektiv.

□ Ja □ Nein

Wenn f keine leeren Fasern hat, dann ist f surjektiv.

□ Ja □ Nein

2 Sind die folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme richtig?

Ein lineares Gleichungssystem Ax = b mit A ∈ ℚ^{m×n} und b ∈ ℚ^{m×1} hat genau dann eine Lösung, wenn b im Spaltenraum von A liegt.

□ Ja □ Nein

Jedes inhomogene lineare Gleichungssystem über ℝ mit weniger Unbekannten als Gleichungen hat keine Lösungen.

□ Ja □ Nein

Jedes homogene lineare Gleichungssystem mit mehr Unbekannten als Gleichungen hat mindestens 2 Lösungen.

□ Ja □ Nein

3 Es seien K ein Körper und φ : V → W und ψ : W → V lineare Abbildungen zwischen den K-Vektorräumen V und W. Welche der folgenden Aussagen sind in dieser Situation immer wahr? Bild ψ ⊆ Bild ψ ∘ φ

□ Ja □ Nein

Kern φ ⊆ Kern ψ ∘ φ

□ Ja □ Nein

Bild ψ ∘ φ ⊆ Bild φ ∘ ψ

□ Ja □ Nein

Kern φ ∘ ψ ∘ φ = Kern φ

□ Ja □ Nein

4 Es sei K ein Körper, n ∈ ℕ \ {0, 1} und A, B, C ∈ K^{n×n}.

Ist A invertierbar, so gilt det(A^{2}) ≠ 0.

□ Ja □ Nein

Ist det(AB) = 1, dann ist A invertierbar und B = A^{−1}.

□ Ja □ Nein

Für a ∈ K ist det(aA) = a^{n} det(A).

□ Ja □ Nein

Es gilt det(A − B) = det(A) − det(B) + det(AB).

□ Ja □ Nein

5 Es sei n ∈ ℕ \ {0, 1}, a, b ∈ ℝ und A, B ∈ ℝ^{n×n}.

Ist v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert a und ein Eigenvektor von B zum Eigenwert b, dann ist v ein Eigenvektor von AB zum Eigenwert a · b.

□ Ja □ Nein

Hat A paarweise verschiedene Eigenwerte a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ und ist AB = BA, dann ist B diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

Falls n gerade ist, so hat B mindestens einen Eigenvektor.

□ Ja □ Nein

Lineare Algebra I, WS 2005/06, Nachholklausur, 6.3.2006, Gruppe B

Bearbeiten Sie die folgenden Rechenaufgaben und schreiben Sie die Ergebnisse in die dafür vorgesehenen Kästchen. Sie brauchen Ihre Ergebnisse nicht zu begründen, für Begründungen und Ansätze gibt es aber auch keine Punkte. Für die richtige Antwort bekommen Sie die angegebene Punktzahl. Für eine falsche Antwort gibt es Null Punkte. 6 Berechnen Sie die Determinante, das charakteristische Polynom χ_{A} und einen Eigenvektor v

der folgenden Matrix A ∈ ℚ^{3×3}:

A = [ \begin{matrix}4 & −9 & 0 \\ 5 & −11 & −5 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ]

det(A) = (2 Punkte)

χ_{A} = (2 Punkte)

v^{t} = (3 Punkte)

7 Es sei 𝔽_{2} = {0, 1} der Körper mit 2 Elementen. Bestimmen Sie die Menge aller x ∈ 𝔽_{2}^{5×1} mit Ax = b, wobei A ∈ 𝔽_{2}^{4×5} und b ∈ 𝔽_{2}^{4×1} die folgenden sind: (6 Punkte)

A := [ \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ] , b := [ \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ] Ergebnis:

Beantworten Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an. 8 Es sei A ∈ ℝ^{3×3} eine Matrix, für die A^{3} + A^{2} + A + E_{3} = 0 ist, wobei E_{3} die 3 × 3-

Einheitsmatrix ist.

(a) Zeigen Sie, dass das Minimalpolynom μ_{A} von A ein Teiler von X^{4} − 1 ist.

(2 Punkte)

(b) Es sei zusätzlich A^{2} = [ \begin{matrix}−1 & 2 & 4 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ]. Was ist dann A^{2006}? (2 Punkte)

9 Es seien K ein Körper, V und W K-Vektorräume und φ : V → W eine K-lineare Abbildung. Zeigen Sie: Sind v, w ∈ V und ist (φ(v), φ(w)) linear unabhängig, dann ist (v, w) linear unabhängig. (4 Punkte)

10 Es seien n ∈ ℕ mit n ≥ 2 und X, Y ∈ ℚ^{n×n} zwei Matrizen. Zeigen Sie, dass die Menge

{A ∈ ℚ^{n×n} | AX = Y A} ein Untervektorraum von ℚ^{n×n} ist. (4 Punkte) 11 Es sei n ∈ ℕ \ {0, 1} und ( , ) : ℂ^{n×1} × ℂ^{n×1} → ℂ eine beliebige Sesquilinearform auf

ℂ^{n×1}. Weiter sei A ∈ ℂ^{n×n} und φ_{A} : ℂ^{n×1} → ℂ^{n×1}, v ↦ Av. Es gelte (Av, w) = (v, Aw) für alle v, w ∈ ℂ^{n×1} (das heißt, φ_{A} ist selbstadjungiert bezüglich ( , )). Sei v ∈ ℂ^{n×1} ein Eigenvektor von φ_{A} zum Eigenwert a und w ∈ ℂ^{n×1} ein Eigenvektor von φ_{A} zum Eigenwert b mit a ≠ b̄. Zeigen Sie, dass (v, w) = 0 ist. (4 Punkte)