16.12.2005

Scheinklausur zur Linearen Algebra I, WS 05/06, 1. Teil

Prof. Dr. G. Hiß

Tragen Sie bitte auf diesem Deckblatt leserlich und in Blockbuchstaben Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein und unterschreiben Sie.

Name:

Vorname:

Matrikelnummer:

Eigenhändige Unterschrift:

Krz  Erg  9  10  11  12  Σ

Punkte

Nachk.

Zum Ankreuzteil:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung: Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Wenn Sie bei einer Frage unsicher sind, machen Sie einfach kein Kreuz. Sie brauchen Ihre Kreuze nicht zu begründen!

Zum Ergebnisteil:

In diesem Teil müssen Sie Ihre Aussagen nicht begründen. Es zählt nur das richtige Ergebnis.

Zu den Aufgaben mit Begründungen:

In diesem Teil müssen Sie alle Aussagen begründen. Natürlich brauchen Sie Aussagen aus der Vorlesung nicht noch einmal zu beweisen.

Gruppe A

Scheinklausur 1. Teil, 16.12.2005

Lineare Algebra I, WS 2005/06, Prof. Dr. G. Hiß

Name: Matrikelnummer:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben: Ein richtiges Kreuz ergibt +1 Punkt, ein falsches Kreuz ergibt −1 Punkt, keine Angabe zählt 0 Punkte. In jeder Aufgabe bekommen Sie mindestens 0 Punkte.

1 Sind die folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme richtig?

Jedes inhomogene lineare Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Unbekannten hat keine Lösung.

□ Ja □ Nein

Jedes homogene lineare Gleichungssystem über ℚ mit weniger Gleichungen als Unbekannten hat unendlich viele Lösungen.

□ Ja □ Nein

Ein lineares Gleichungssystem Ax = b mit A ∈ ℚ^{m×n} und b ∈ ℚ^{m×1} hat genau dann eine Lösung, wenn b im Spaltenraum von A liegt.

□ Ja □ Nein

2 Beantworten Sie die folgenden Fragen über Restklassenringe.

Ist \overline{21} eine Einheit in ℤ/133ℤ?

□ Ja □ Nein
Ist \overline{3}^{2005} = \overline{3}^{2001} in ℤ/80ℤ? □ Ja □ Nein

Sei a ∈ ℤ/nℤ eine Einheit. Ist dann auch a^{3} eine Einheit?

□ Ja □ Nein

3 Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Sind die folgenden Aussagen für alle Vektoren v_{1}, v_{2}, v_{3} ∈ V richtig? Wenn v_{3} ∈ ⟨v_{1}, v_{2}⟩ ist, dann gilt v_{1} ∈ ⟨v_{2}, v_{3}⟩.

□ Ja □ Nein

Wenn v_{1} ∈ ⟨v_{2}, v_{3}⟩ ist, dann ist ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}⟩ = ⟨v_{2}, v_{3}⟩. □ Ja □ Nein

Wenn ⟨v_{1}⟩ = ⟨v_{2}⟩ ist, dann existiert ein a ∈ K mit a · v_{1} = v_{2}.

□ Ja □ Nein

4 Es seien K ein Körper und φ : V → W und ψ : W → V lineare Abbildungen zwischen den K-Vektorräumen V und W. Welche der folgenden Aussagen sind in dieser Situation immer wahr? Bild ψ ∘ φ ⊆ Bild ψ

□ Ja □ Nein

Kern ψ ∘ φ ⊆ Kern ψ

□ Ja □ Nein

Kern ψ ∘ φ ⊆ Kern φ ∘ ψ

□ Ja □ Nein

5 Es sei f : M → N eine Abbildung zwischen zwei nicht-leeren Mengen M und N. Sind die folgenden Aussagen richtig? f ist surjektiv genau dann, wenn f keine leeren Fasern hat.

□ Ja □ Nein

f ist injektiv genau dann, wenn jede Faser genau ein Element hat.

□ Ja □ Nein

f ist bijektiv genau dann, wenn jede Faser mindestens ein Element hat.

□ Ja □ Nein

Scheinklausur 1. Teil, 16.12.2005, Gruppe A

Bearbeiten Sie die folgenden Rechenaufgaben und schreiben Sie die Ergebnisse in die dafür vorgesehenen Kästchen. Sie brauchen Ihre Ergebnisse nicht zu begründen, für Begründungen und Ansätze gibt es aber auch keine Punkte. Für die richtige Antwort bekommen Sie die angegebene Punktzahl. Für eine falsche Antwort gibt es Null Punkte. 6 Bestimmen Sie die folgenden Anzahlen: (je 1 Punkt)

(a) Anzahl der injektiven Abbildungen {1, 2, 3} → {4, 5}

(b) Anzahl der surjektiven Abbildungen {1, 2, 3} → {4, 5}

(c) Anzahl der injektiven Abbildungen {1, 2} → {4, 5, 6}

(d) Anzahl der surjektiven Abbildungen {1, 2} → {4, 5, 6}

(e) Anzahl der injektiven Abbildungen {1, 2, 3} → {4, 5, 6}

(f) Anzahl der surjektiven Abbildungen {1, 2, 3} → {4, 5, 6}

(a)  (b)  (c)  (d)  (e)  (f)

7 Bestimmen Sie eine Matrix N ∈ ℤ^{2×4}, für die MN = P gilt mit den folgenden Matrizen M und P: (4 Punkte)

M := [ \begin{matrix}1 & 3 \\ −1 & 1 \end{matrix} ] ∈ ℤ^{2×2}  und  P := [ \begin{matrix}10 & −1 & −1 & 4 \\ 2 & 1 & −3 & 4 \end{matrix} ] ∈ ℤ^{2×4}

N :

8 Es sei 𝔽_{2} = {0, 1} der Körper mit 2 Elementen. Bestimmen Sie die Menge aller x ∈ 𝔽_{2}^{5×1} mit Ax = b, wobei A ∈ 𝔽_{2}^{4×5} und b ∈ 𝔽_{2}^{4×1} die folgenden sind: (6 Punkte)

A := [ \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ] , b := [ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ] Ergebnis:

Beantworten Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an. 9 Eine quadratische Matrix A heißt symmetrisch, wenn A = A^{t} ist.

Es seien K ein Körper, n ∈ ℕ mit n ≥ 2 und A, B ∈ K^{n×n} symmetrisch. Zeigen Sie, dass AB genau dann gleich BA ist, wenn AB symmetrisch ist. (6 Punkte)

10 Es sei n ∈ ℕ mit n ≥ 2 und M ⊆ ℚ^{n×n} eine Teilmenge. Zeigen Sie, dass die Menge {A ∈ ℚ^{n×n} | AX = XA für alle X ∈ M} ein Untervektorraum von ℚ^{n×n} ist. (4 Punkte)

11 Es sei A ∈ ℚ^{2×2} mit A = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ −1 & 0 \end{matrix} ] und φ : ℚ^{2×2} → ℚ^{2×2}, X ↦ AX + XA.

(a) Zeigen Sie, dass φ linear ist. (1 Punkt)

(b) Bestimmen Sie den Kern von φ. (2 Punkte)

(c) Bestimmen Sie das Bild von φ. (2 Punkte)

12 Es seien M, N und S nicht-leere Mengen und φ : M → N und ψ : N → S Abbildungen.

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Sind φ und ψ injektiv, dann ist auch ψ ∘ φ injektiv. (1 Punkt)

(b) Ist φ injektiv und ψ surjektiv, dann ist ψ ∘ φ surjektiv. (1 Punkt)

(c) Sind φ und ψ surjektiv, dann ist auch ψ ∘ φ surjektiv. (1 Punkt)

(d) Ist φ surjektiv und ψ injektiv, dann ist ψ ∘ φ injektiv. (1 Punkt)

Gruppe B

Scheinklausur 1. Teil, 16.12.2005

Lineare Algebra I, WS 2005/06, Prof. Dr. G. Hiß

Name: Matrikelnummer:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben: Ein richtiges Kreuz ergibt +1 Punkt, ein falsches Kreuz ergibt −1 Punkt, keine Angabe zählt 0 Punkte. In jeder Aufgabe bekommen Sie mindestens 0 Punkte.

1 Es sei f : M → N eine Abbildung zwischen zwei nicht-leeren Mengen M und N. Sind die folgenden Aussagen richtig? f ist injektiv genau dann, wenn jede Faser genau ein Element hat.

□ Ja □ Nein

f ist bijektiv genau dann, wenn jede Faser mindestens ein Element hat.

□ Ja □ Nein

f ist surjektiv genau dann, wenn f keine leeren Fasern hat.

□ Ja □ Nein

2 Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Sind die folgenden Aussagen für alle Vektoren v_{1}, v_{2}, v_{3} ∈ V richtig?

Wenn v_{1} ∈ ⟨v_{2}, v_{3}⟩ ist, dann ist ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}⟩ = ⟨v_{2}, v_{3}⟩. □ Ja □ Nein

Wenn v_{3} ∈ ⟨v_{1}, v_{2}⟩ ist, dann gilt v_{1} ∈ ⟨v_{2}, v_{3}⟩.

□ Ja □ Nein

Wenn ⟨v_{1}⟩ = ⟨v_{2}⟩ ist, dann existiert ein a ∈ K mit a · v_{1} = v_{2}.

□ Ja □ Nein

3 Beantworten Sie die folgenden Fragen über Restklassenringe.

Ist \overline{3}^{2005} = \overline{3}^{2001} in ℤ/80ℤ? □ Ja □ Nein

Sei a ∈ ℤ/nℤ eine Einheit. Ist dann auch a^{3} eine Einheit?

□ Ja □ Nein

Ist \overline{21} eine Einheit in ℤ/133ℤ?

□ Ja □ Nein

4 Sind die folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme richtig?

Ein lineares Gleichungssystem Ax = b mit A ∈ ℚ^{m×n} und b ∈ ℚ^{m×1} hat genau dann eine Lösung, wenn b im Spaltenraum von A liegt.

□ Ja □ Nein

Jedes inhomogene lineare Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Unbekannten hat keine Lösung.

□ Ja □ Nein

Jedes homogene lineare Gleichungssystem über ℚ mit weniger Gleichungen als Unbekannten hat unendlich viele Lösungen.

□ Ja □ Nein

5 Es seien K ein Körper und φ : V → W und ψ : W → V lineare Abbildungen zwischen den K-Vektorräumen V und W. Welche der folgenden Aussagen sind in dieser Situation immer wahr? Kern ψ ∘ φ ⊆ Kern ψ

□ Ja □ Nein

Bild ψ ∘ φ ⊆ Bild ψ

□ Ja □ Nein

Kern ψ ∘ φ ⊆ Kern φ ∘ ψ

□ Ja □ Nein

Scheinklausur 1. Teil, 16.12.2005, Gruppe B

Bearbeiten Sie die folgenden Rechenaufgaben und schreiben Sie die Ergebnisse in die dafür vorgesehenen Kästchen. Sie brauchen Ihre Ergebnisse nicht zu begründen, für Begründungen und Ansätze gibt es aber auch keine Punkte. Für die richtige Antwort bekommen Sie die angegebene Punktzahl. Für eine falsche Antwort gibt es Null Punkte. 6 Bestimmen Sie eine Matrix N ∈ ℤ^{2×4}, für die MN = P gilt mit den folgenden Matrizen M

und P: (4 Punkte)

M := [ \begin{matrix}1 & 3 \\ −1 & 1 \end{matrix} ] ∈ ℤ^{2×2}  und  P := [ \begin{matrix}10 & −1 & −1 & 4 \\ 2 & 1 & −3 & 4 \end{matrix} ] ∈ ℤ^{2×4}

N :

7 Es sei 𝔽_{2} = {0, 1} der Körper mit 2 Elementen. Bestimmen Sie die Menge aller x ∈ 𝔽_{2}^{5×1} mit Ax = b, wobei A ∈ 𝔽_{2}^{4×5} und b ∈ 𝔽_{2}^{4×1} die folgenden sind: (6 Punkte)

A := [ \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ] , b := [ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ] Ergebnis:

8 Bestimmen Sie die folgenden Anzahlen: (je 1 Punkt) (a) Anzahl der injektiven Abbildungen {1, 2, 3} → {4, 5}

(b) Anzahl der surjektiven Abbildungen {1, 2, 3} → {4, 5}

(c) Anzahl der injektiven Abbildungen {1, 2} → {4, 5, 6}

(d) Anzahl der surjektiven Abbildungen {1, 2} → {4, 5, 6}

(e) Anzahl der injektiven Abbildungen {1, 2, 3} → {4, 5, 6}

(f) Anzahl der surjektiven Abbildungen {1, 2, 3} → {4, 5, 6}

(a)  (b)  (c)  (d)  (e)  (f)

Beantworten Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an. 9 Eine quadratische Matrix A heißt symmetrisch, wenn A = A^{t} ist.

Es seien K ein Körper, n ∈ ℕ mit n ≥ 2 und A, B ∈ K^{n×n} symmetrisch. Zeigen Sie, dass AB genau dann gleich BA ist, wenn AB symmetrisch ist. (6 Punkte)

10 Es sei n ∈ ℕ mit n ≥ 2 und M ⊆ ℚ^{n×n} eine Teilmenge. Zeigen Sie, dass die Menge {A ∈ ℚ^{n×n} | AX = XA für alle X ∈ M} ein Untervektorraum von ℚ^{n×n} ist. (4 Punkte)

11 Es sei A ∈ ℚ^{2×2} mit A = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ −1 & 0 \end{matrix} ] und φ : ℚ^{2×2} → ℚ^{2×2}, X ↦ AX + XA.

(a) Zeigen Sie, dass φ linear ist. (1 Punkt)

(b) Bestimmen Sie den Kern von φ. (2 Punkte)

(c) Bestimmen Sie das Bild von φ. (2 Punkte)

12 Es seien M, N und S nicht-leere Mengen und φ : M → N und ψ : N → S Abbildungen.

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Sind φ und ψ injektiv, dann ist auch ψ ∘ φ injektiv. (1 Punkt)

(b) Ist φ injektiv und ψ surjektiv, dann ist ψ ∘ φ surjektiv. (1 Punkt)

(c) Sind φ und ψ surjektiv, dann ist auch ψ ∘ φ surjektiv. (1 Punkt)

(d) Ist φ surjektiv und ψ injektiv, dann ist ψ ∘ φ injektiv. (1 Punkt)