14.2.2006

Scheinklausur zur Linearen Algebra I, WS 05/06, 2. Teil

Prof. Dr. G. Hiß

Tragen Sie bitte auf diesem Deckblatt leserlich und in Blockbuchstaben Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein und unterschreiben Sie.

Name:

Vorname:

Matrikelnummer:

Eigenhändige Unterschrift:

Krz  Erg  8  9  10  11  12  Σ

Punkte

Nachk.

Zum Ankreuzteil:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung: Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Wenn Sie bei einer Frage unsicher sind, machen Sie einfach kein Kreuz. Sie brauchen Ihre Kreuze nicht zu begründen!

Zum Ergebnisteil:

In diesem Teil müssen Sie Ihre Aussagen nicht begründen. Es zählt nur das richtige Ergebnis.

Zu den Aufgaben mit Begründungen:

In diesem Teil müssen Sie alle Aussagen begründen. Natürlich brauchen Sie Aussagen aus der Vorlesung nicht noch einmal zu beweisen.

Gruppe A

Scheinklausur 2. Teil, 14.2.2006

Lineare Algebra I, WS 2005/06, Prof. Dr. G. Hiß

Name: Matrikelnummer:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben: Ein richtiges Kreuz ergibt +1 Punkt, ein falsches Kreuz ergibt −1 Punkt, keine Angabe zählt 0 Punkte. In jeder Aufgabe bekommen Sie mindestens 0 Punkte.

1 Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und v_{1}, …, v_{n} ∈ V. Ist (v_{1}, v_{2}) linear abhängig, so gibt es ein s ∈ K mit v_{2} = sv_{1}.

□ Ja □ Nein

Ist V = ⟨v_{1}, …, v_{n}⟩, dann ist die Dimension von V gleich n.

□ Ja □ Nein

(v_{1}, v_{2}) ist genau dann linear unabhängig, wenn (v_{1} + v_{2}, v_{2}) linear unabhängig ist.

□ Ja □ Nein

2 Sei K ein Körper, n, m ∈ ℕ \ {0} und A ∈ K^{m×n}.

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen von A ist gleich der maximalen Anzahl linear unabhängiger Spalten von A.

□ Ja □ Nein

Das Bild der linearen Abbildung φ : K^{n×1} → K^{m×1}, v ↦ Av hat die Dimension n.

□ Ja □ Nein

Wenn A den Rang m hat, so gilt n ≤ m.

□ Ja □ Nein

Der Spaltenrang von A ist gleich dem Spaltenrang von A^{t}.

□ Ja □ Nein

3 Sei K ein Körper, n, m ∈ ℕ \ {0} und A ∈ K^{m×n} und b ∈ K^{m×1}. Wenn n = m ist, so hat das lineare Gleichungssystem Ax = 0 genau eine Lösung.

□ Ja □ Nein

Wenn m < n ist, so hat das lineare Gleichungssystem Ax = 0 mehr als eine Lösung.

□ Ja □ Nein

Wenn m < n ist, so hat das lineare Gleichungssystem Ax = b mehr als eine Lösung.

□ Ja □ Nein

Wenn Ax = b lösbar ist und Ax = 0 mehrere Lösungen hat, dann ist die Lösung von Ax = b nicht eindeutig.

□ Ja □ Nein

4 Sei K ein Körper, n ∈ ℕ \ {0, 1} und A, B, C ∈ K^{n×n}. Es gilt det(A + B) = det(A) + det(B) − det(AB).

□ Ja □ Nein

Ist det((A + B)C) ≠ 0, dann ist A oder B invertierbar.

□ Ja □ Nein

Ist A invertierbar, so gilt det(A^{−1}) det(A) = 1.

□ Ja □ Nein
5 Sei n ∈ ℕ \ {0}, a, b ∈ ℝ und A, B ∈ ℝ^{n×n}.

Ist v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert a und ein Eigenvektor von B zum Eigenwert b, dann ist v ein Eigenvektor von AB zum Eigenwert a + b.

□ Ja □ Nein

Falls n ungerade ist, so hat B mindestens einen Eigenvektor.

□ Ja □ Nein

Ist A diagonalisierbar und für jeden Eigenraum U von A gilt, dass Bu ∈ U für alle u ∈ U ist, so ist auch B diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

Scheinklausur 2. Teil, 14.2.2006, Gruppe A

Bearbeiten Sie die folgenden Rechenaufgaben und schreiben Sie die Ergebnisse in die dafür vorgesehenen Kästchen. Sie brauchen Ihre Ergebnisse nicht zu begründen, für Begründungen und Ansätze gibt es aber auch keine Punkte. Für die richtige Antwort bekommen Sie die angegebene Punktzahl. Für eine falsche Antwort gibt es Null Punkte. 6 Berechnen Sie die Determinante, das charakteristische Polynom χ_{A} und einen Eigenvektor v

der folgenden Matrix A ∈ ℚ^{3×3}:

A = [ \begin{matrix}−1 & 0 & 5 \\ −2 & −1 & 8 \\ −1 & 0 & 4 \end{matrix} ]

det(A) = (2 Punkte)

χ_{A} = (2 Punkte)

v^{t} = (3 Punkte)

7 Es sei φ : ℚ^{1×3} → ℚ^{1×3} die lineare Abbildung, für die φ([1, 1, 0]) = [0, 0, 1] und φ([0, 1, 1]) = [0, 1, 0] und φ([2, 4, 3]) = [1, 0, 0]. Weiter sei B := (e_{1}, e_{2}, e_{3}) die Standardbasis, also e_{1} = [1, 0, 0], e_{2} = [0, 1, 0] und e_{3} = [0, 0, 1]. Berechnen Sie die Matrix von φ bezüglich der Basis B.

M_{B}^{B}(φ) =

(6 Punkte)

Beantworten Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an. 8 Es sei A ∈ ℝ^{2×2} eine Matrix, für die A^{2} + A + E_{2} = 0 ist, wobei E_{2} die 2 × 2-Einheitsmatrix

ist.

(a) Zeigen Sie, dass das Minimalpolynom μ_{A} von A ein Teiler von X^{3} − 1 ist.

(2 Punkte)

(b) Es sei zusätzlich A^{2} = [ \begin{matrix}1 & −1 \\ 3 & −2 \end{matrix} ]. Was ist dann A^{2006}? (2 Punkte)

9 Es sei K ein Körper und A ∈ K^{n×n} für ein n ∈ ℕ \ {0} eine Matrix. Zeigen Sie, dass für jeden Eigenwert a ∈ K von A das Polynom X − a ein Teiler des Minimalpolynoms μ_{A} von A ist. (4 Punkte)

10 Beweisen oder widerlegen Sie: Ist V ein K-Vektorraum der Dimension n ≥ 3, dann gibt es Vektoren a, b, c ∈ V, so dass (a, b) und (a, c) und (b, c) linear unabhängig sind, aber (a, b, c) linear abhängig ist. (4 Punkte)

11 Es sei A ∈ ℝ^{n×n} für ein n ∈ ℕ \ {0} und A^{t} · A = E_{n} die Einheitsmatrix. Zeigen Sie, dass det(A) ∈ {−1, 1} ist. (4 Punkte)

12 Für welche Werte der Zahl a ∈ ℝ ist die Matrix A = [ \begin{matrix}3 & a \\ −1 & 1 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×2} diagonalisierbar?

(4 Punkte)

Gruppe B

Scheinklausur 2. Teil, 14.2.2006

Lineare Algebra I, WS 2005/06, Prof. Dr. G. Hiß

Name: Matrikelnummer:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben: Ein richtiges Kreuz ergibt +1 Punkt, ein falsches Kreuz ergibt −1 Punkt, keine Angabe zählt 0 Punkte. In jeder Aufgabe bekommen Sie mindestens 0 Punkte.

1 Sei K ein Körper, n, m ∈ ℕ \ {0} und A ∈ K^{m×n} und b ∈ K^{m×1}. Wenn m < n ist, so hat das lineare Gleichungssystem Ax = 0 mehr als eine Lösung.

□ Ja □ Nein

Wenn m < n ist, so hat das lineare Gleichungssystem Ax = b mehr als eine Lösung.

□ Ja □ Nein

Wenn n = m ist, so hat das lineare Gleichungssystem Ax = 0 genau eine Lösung.

□ Ja □ Nein

Wenn Ax = b lösbar ist und Ax = 0 mehrere Lösungen hat, dann ist die Lösung von Ax = b nicht eindeutig.

□ Ja □ Nein

2 Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und v_{1}, …, v_{n} ∈ V. (v_{1}, v_{2}) ist genau dann linear unabhängig, wenn (v_{1} + v_{2}, v_{2}) linear unabhängig ist.

□ Ja □ Nein

Ist (v_{1}, v_{2}) linear abhängig, so gibt es ein s ∈ K mit v_{2} = sv_{1}.

□ Ja □ Nein

Ist V = ⟨v_{1}, …, v_{n}⟩, dann ist die Dimension von V gleich n.

□ Ja □ Nein

3 Sei K ein Körper, n ∈ ℕ \ {0, 1} und A, B, C ∈ K^{n×n}. Es gilt det(A + B) = det(A) + det(B) − det(AB).

□ Ja □ Nein

Ist A invertierbar, so gilt det(A^{−1}) det(A) = 1.

□ Ja □ Nein

Ist det((A + B)C) ≠ 0, dann ist A oder B invertierbar.

□ Ja □ Nein
4 Sei n ∈ ℕ \ {0}, a, b ∈ ℝ und A, B ∈ ℝ^{n×n}.

Falls n ungerade ist, so hat B mindestens einen Eigenvektor.

□ Ja □ Nein

Ist A diagonalisierbar und für jeden Eigenraum U von A gilt, dass Bu ∈ U für alle u ∈ U ist, so ist auch B diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

Ist v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert a und ein Eigenvektor von B zum Eigenwert b, dann ist v ein Eigenvektor von AB zum Eigenwert a + b.

□ Ja □ Nein

5 Sei K ein Körper, n, m ∈ ℕ \ {0} und A ∈ K^{m×n}.

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen von A ist gleich der maximalen Anzahl linear unabhängiger Spalten von A.

□ Ja □ Nein

Wenn A den Rang m hat, so gilt n ≤ m.

□ Ja □ Nein

Das Bild der linearen Abbildung φ : K^{n×1} → K^{m×1}, v ↦ Av hat die Dimension n.

□ Ja □ Nein

Der Spaltenrang von A ist gleich dem Spaltenrang von A^{t}.

□ Ja □ Nein

Scheinklausur 2. Teil, 14.2.2006, Gruppe B

Bearbeiten Sie die folgenden Rechenaufgaben und schreiben Sie die Ergebnisse in die dafür vorgesehenen Kästchen. Sie brauchen Ihre Ergebnisse nicht zu begründen, für Begründungen und Ansätze gibt es aber auch keine Punkte. Für die richtige Antwort bekommen Sie die angegebene Punktzahl. Für eine falsche Antwort gibt es Null Punkte. 6 Es sei φ : ℚ^{1×3} → ℚ^{1×3} die lineare Abbildung, für die φ([1, 1, 0]) = [0, 0, 1] und φ([0, 1, 1]) =

[0, 1, 0] und φ([2, 4, 3]) = [1, 0, 0]. Weiter sei B := (e_{1}, e_{2}, e_{3}) die Standardbasis, also e_{1} = [1, 0, 0], e_{2} = [0, 1, 0] und e_{3} = [0, 0, 1]. Berechnen Sie die Matrix von φ bezüglich der Basis B.

M_{B}^{B}(φ) =

(6 Punkte)

7 Berechnen Sie die Determinante, das charakteristische Polynom χ_{A} und einen Eigenvektor v der folgenden Matrix A ∈ ℚ^{3×3}:

A = [ \begin{matrix}−1 & 0 & 5 \\ −2 & −1 & 8 \\ −1 & 0 & 4 \end{matrix} ]

det(A) = (2 Punkte)

χ_{A} = (2 Punkte)

v^{t} = (3 Punkte)

Beantworten Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an. 8 Es sei A ∈ ℝ^{2×2} eine Matrix, für die A^{2} + A + E_{2} = 0 ist, wobei E_{2} die 2 × 2-Einheitsmatrix

ist.

(a) Zeigen Sie, dass das Minimalpolynom μ_{A} von A ein Teiler von X^{3} − 1 ist.

(2 Punkte)

(b) Es sei zusätzlich A^{2} = [ \begin{matrix}1 & −1 \\ 3 & −2 \end{matrix} ]. Was ist dann A^{2006}? (2 Punkte)

9 Es sei K ein Körper und A ∈ K^{n×n} für ein n ∈ ℕ \ {0} eine Matrix. Zeigen Sie, dass für jeden Eigenwert a ∈ K von A das Polynom X − a ein Teiler des Minimalpolynoms μ_{A} von A ist. (4 Punkte)

10 Beweisen oder widerlegen Sie: Ist V ein K-Vektorraum der Dimension n ≥ 3, dann gibt es Vektoren a, b, c ∈ V, so dass (a, b) und (a, c) und (b, c) linear unabhängig sind, aber (a, b, c) linear abhängig ist. (4 Punkte)

11 Es sei A ∈ ℝ^{n×n} für ein n ∈ ℕ \ {0} und A^{t} · A = E_{n} die Einheitsmatrix. Zeigen Sie, dass det(A) ∈ {−1, 1} ist. (4 Punkte)

12 Für welche Werte der Zahl a ∈ ℝ ist die Matrix A = [ \begin{matrix}3 & a \\ −1 & 1 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×2} diagonalisierbar?

(4 Punkte)