27.3.2006

Vordiplomsklausur zur Linearen Algebra I, WS 05/06

Prof. Dr. G. Hiß

Tragen Sie bitte auf diesem Deckblatt leserlich und in Blockbuchstaben Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein und unterschreiben Sie.

Name:

Vorname:

Matrikelnummer:

Eigenhändige Unterschrift:

Krz  Erg  9  10  11  12  Σ

Punkte

Nachk.

Zum Ankreuzteil:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung: Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Wenn Sie bei einer Frage unsicher sind, machen Sie einfach kein Kreuz. Sie brauchen Ihre Kreuze nicht zu begründen!

Zum Ergebnisteil:

In diesem Teil müssen Sie Ihre Aussagen nicht begründen. Es zählt nur das richtige Ergebnis.

Zu den Aufgaben mit Begründungen:

In diesem Teil müssen Sie alle Aussagen begründen. Natürlich brauchen Sie Aussagen aus der Vorlesung nicht noch einmal zu beweisen, es sei denn, es ist explizit gefordert.

Gruppe A

Vordiplomsklausur, 27.3.2006

Lineare Algebra I, WS 2005/06, Prof. Dr. G. Hiß

Name: Matrikelnummer:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben: Ein richtiges Kreuz ergibt +1 Punkt, ein falsches Kreuz ergibt −1 Punkt, keine Angabe zählt 0 Punkte. In jeder Aufgabe bekommen Sie mindestens 0 Punkte.

1 Sind die folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme richtig?

Jedes inhomogene lineare Gleichungssystem mit mehr Unbekannten als Gleichungen hat mindestens 2 Lösungen.

□ Ja □ Nein

Jedes homogene lineare Gleichungssystem über ℝ mit weniger Unbekannten als Gleichungen hat keine Lösungen.

□ Ja □ Nein

Ein lineares Gleichungssystem Ax = b mit A ∈ ℚ^{m×n} und b ∈ ℚ^{m×1} hat genau dann eine Lösung, wenn b im Spaltenraum von A liegt.

□ Ja □ Nein

2 Es seien V und W K-Vektorräume der Dimension größer oder gleich 3 und φ : V → W eine lineare Abbildung. Weiter seien v_{1}, v_{2}, v_{3} ∈ V. Sind die folgenden Aussagen richtig? Wenn (v_{1}, v_{2}, v_{3}) linear abhängig ist, dann ist (φ(v_{1}), φ(v_{2}), φ(v_{3})) auch linear abhängig.

□ Ja □ Nein

Wenn φ surjektiv ist und (φ(v_{1}), φ(v_{2}), φ(v_{3})) linear unabhängig ist, dann ist auch (v_{1}, v_{2}, v_{3}) linear unabhängig.

□ Ja □ Nein

Wenn φ injektiv ist und (v_{1}, v_{2}, v_{3}) linear unabhängig ist, dann ist auch (φ(v_{1}), φ(v_{2}), φ(v_{3})) linear unabhängig.

□ Ja □ Nein

3 Es sei K ein Körper, n ∈ ℕ \ {0, 1} und A, B, C ∈ K^{n×n}.

Es gilt det(A − B) = det(A) − det(B) + det(AB).

□ Ja □ Nein

Ist det(ABC) ≠ 0, dann sind A und B invertierbar und C = B^{−1}A^{−1}.

□ Ja □ Nein

Ist A invertierbar, so gilt det(A + A^{t}) ≠ 0.

□ Ja □ Nein

Ist A invertierbar, so ist Spur(A) ≠ 0.

□ Ja □ Nein

4 Es sei n ∈ ℕ \ {0, 1}, a, b ∈ ℝ und A, B ∈ ℝ^{n×n}.

Ist v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert a und w ein Eigenvektor von A zum Eigenwert b und ist a ≠ b, dann ist v + w ein Eigenvektor von A zum Eigenwert a + b.

□ Ja □ Nein

B hat höchstens n verschiedene Eigenwerte.

□ Ja □ Nein

Hat A paarweise verschiedene Eigenwerte a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ und ist B = A^{3}, dann ist B diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

5 Es sei K ein Körper, A ∈ K^{n×n} mit n ∈ ℕ \ {0, 1} und χ_{A} das charakteristische Polynom von A und μ_{A} das Minimalpolynom von A. Sind die folgenden Aussagen richtig? A ist genau dann diagonalisierbar, wenn μ_{A} in Linearfaktoren zerfällt.

□ Ja □ Nein

Wenn A diagonalisierbar ist, dann zerfällt χ_{A} in Linearfaktoren.

□ Ja □ Nein

Falls f ∈ K[X] ein Polynom mit μ_{A}|f ist (d.h. μ_{A} ist ein Teiler von f), dann ist f(A) = 0 (Nullmatrix).

□ Ja □ Nein

Lineare Algebra I, WS 2005/06, Vordiplomsklausur, 27.3.2006, Gruppe A

Bearbeiten Sie die folgenden Rechenaufgaben und schreiben Sie die Ergebnisse in die dafür vorgesehenen Kästchen. Sie brauchen Ihre Ergebnisse nicht zu begründen, für Begründungen und Ansätze gibt es aber auch keine Punkte. Für die richtige Antwort bekommen Sie die angegebene Punktzahl. Für eine falsche Antwort gibt es Null Punkte. 6 Es sei 𝔽_{2} = {0, 1} der Körper mit zwei Elementen und V der 𝔽_{2}-Vektorraum

V := \{[ \begin{matrix}a & b \\ b & c \end{matrix} ] | a, b, c ∈ 𝔽_{2}\} ≤ 𝔽_{2}^{2×2}.

Weiter sei die lineare Abbildung φ : V → 𝔽_{2}^{2×2}, X ↦ AXB gegeben, wobei A = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ]

und B = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ]. Bestimmen Sie Kern(φ) und eine Basis von Bild(φ).

Kern(φ) = (3 Punkte)

Basis von Bild(φ) = (3 Punkte)

7 Es sei M ∈ ℚ^{3×3} die folgende Matrix:

M := [ \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & −1 \\ −1 & −2 & −1 \end{matrix} ]

Berechnen Sie eine Basis von ℚ^{3×1}, die aus Eigenvektoren von M besteht.

Eigenvektorbasis: (6 Punkte)

8 Es sei β die folgende Bilinearform auf dem ℝ-Vektorraum ℝ^{1×3}:

β : ℝ^{1×3} × ℝ^{1×3} → ℝ, β([x_{1}, x_{2}], [y_{1}, y_{2}]) = x_{1}y_{1} + 2x_{2}y_{2} − x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1}.

Berechnen Sie die Gram-Matrix von β bezüglich der Basis B := ([1, 1], [1, −1]).

M_{B}(β) = (4 Punkte)

Beantworten Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. 9 Es seien K ein Körper, V und W Vektorräume über K und φ : V → W eine lineare Abbil-

dung. Weiter seien v_{1}, v_{2} ∈ V mit v_{1} ≠ v_{2} und φ(v_{1}) = φ(v_{2}) ≠ 0. Zeigen Sie, dass (v_{1}, v_{2}) linear unabhängig ist. (4 Punkte)

10 Es seien K ein Körper, V und W Vektorräume über K der Dimension n. Zeigen Sie, dass

jede injektive lineare Abbildung φ : V → W auch surjektiv ist. (4 Punkte) 11 Eine Matrix A ∈ ℝ^{n×n} heißt schiefsymmetrisch, wenn A^{t} = −A ist. Zeigen Sie, dass jede

(n×n)-Matrix über ℝ die Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix ist. (4 Punkte)

12 Es sei K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum mit n ∈ ℕ \ {0, 1} und φ ∈

End_{K}(V). Zeigen Sie:

(a) Ist Bild(φ) = Kern(φ), dann ist n gerade. (3 Punkte)

(b) Ist n gerade, dann gibt es ein φ ∈ End_{K}(V) mit Bild(φ) = Kern(φ). (3 Punkte)

Gruppe B

Vordiplomsklausur, 27.3.2006

Lineare Algebra I, WS 2005/06, Prof. Dr. G. Hiß

Name: Matrikelnummer:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben: Ein richtiges Kreuz ergibt +1 Punkt, ein falsches Kreuz ergibt −1 Punkt, keine Angabe zählt 0 Punkte. In jeder Aufgabe bekommen Sie mindestens 0 Punkte.

1 Es sei K ein Körper, A ∈ K^{n×n} mit n ∈ ℕ \ {0, 1} und χ_{A} das charakteristische Polynom von A und μ_{A} das Minimalpolynom von A. Sind die folgenden Aussagen richtig? Wenn A diagonalisierbar ist, dann zerfällt χ_{A} in Linearfaktoren.

□ Ja □ Nein

Falls f ∈ K[X] ein Polynom mit μ_{A}|f ist (d.h. μ_{A} ist ein Teiler von f), dann ist f(A) = 0 (Nullmatrix).

□ Ja □ Nein

A ist genau dann diagonalisierbar, wenn μ_{A} in Linearfaktoren zerfällt.

□ Ja □ Nein

2 Sind die folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme richtig?

Jedes inhomogene lineare Gleichungssystem mit mehr Unbekannten als Gleichungen hat mindestens 2 Lösungen.

□ Ja □ Nein

Jedes homogene lineare Gleichungssystem über ℝ mit weniger Unbekannten als Gleichungen hat keine Lösungen.

□ Ja □ Nein

Ein lineares Gleichungssystem Ax = b mit A ∈ ℚ^{m×n} und b ∈ ℚ^{m×1} hat genau dann eine Lösung, wenn b im Spaltenraum von A liegt.

□ Ja □ Nein

3 Es sei K ein Körper, n ∈ ℕ \ {0, 1} und A, B, C ∈ K^{n×n}.

Es gilt det(A − B) = det(A) − det(B) + det(AB).

□ Ja □ Nein

Ist det(ABC) ≠ 0, dann sind A und B invertierbar und C = B^{−1}A^{−1}.

□ Ja □ Nein

Ist A invertierbar, so ist Spur(A) ≠ 0.

□ Ja □ Nein

Ist A invertierbar, so gilt det(A + A^{t}) ≠ 0.

□ Ja □ Nein

4 Es seien V und W K-Vektorräume der Dimension größer oder gleich 3 und φ : V → W eine lineare Abbildung. Weiter seien v_{1}, v_{2}, v_{3} ∈ V. Sind die folgenden Aussagen richtig? Wenn φ surjektiv ist und (φ(v_{1}), φ(v_{2}), φ(v_{3})) linear unabhängig ist, dann ist auch (v_{1}, v_{2}, v_{3}) linear unabhängig.

□ Ja □ Nein

Wenn (v_{1}, v_{2}, v_{3}) linear abhängig ist, dann ist (φ(v_{1}), φ(v_{2}), φ(v_{3})) auch linear abhängig.

□ Ja □ Nein

Wenn φ injektiv ist und (v_{1}, v_{2}, v_{3}) linear unabhängig ist, dann ist auch (φ(v_{1}), φ(v_{2}), φ(v_{3})) linear unabhängig.

□ Ja □ Nein

5 Es sei n ∈ ℕ \ {0, 1}, a, b ∈ ℝ und A, B ∈ ℝ^{n×n}.

Ist v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert a und w ein Eigenvektor von A zum Eigenwert b und ist a ≠ b, dann ist v + w ein Eigenvektor von A zum Eigenwert a + b.

□ Ja □ Nein

Hat A paarweise verschiedene Eigenwerte a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ und ist B = A^{3}, dann ist B diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

B hat höchstens n verschiedene Eigenwerte.

□ Ja □ Nein

Lineare Algebra I, WS 2005/06, Vordiplomsklausur, 27.3.2006, Gruppe B

Bearbeiten Sie die folgenden Rechenaufgaben und schreiben Sie die Ergebnisse in die dafür vorgesehenen Kästchen. Sie brauchen Ihre Ergebnisse nicht zu begründen, für Begründungen und Ansätze gibt es aber auch keine Punkte. Für die richtige Antwort bekommen Sie die angegebene Punktzahl. Für eine falsche Antwort gibt es Null Punkte. 6 Es sei β die folgende Bilinearform auf dem ℝ-Vektorraum ℝ^{1×3}:

β : ℝ^{1×3} × ℝ^{1×3} → ℝ, β([x_{1}, x_{2}], [y_{1}, y_{2}]) = x_{1}y_{1} + 2x_{2}y_{2} − x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1}.

Berechnen Sie die Gram-Matrix von β bezüglich der Basis B := ([1, 1], [1, −1]).

M_{B}(β) = (4 Punkte)

7 Es sei 𝔽_{2} = {0, 1} der Körper mit zwei Elementen und V der 𝔽_{2}-Vektorraum

V := \{[ \begin{matrix}a & b \\ b & c \end{matrix} ] | a, b, c ∈ 𝔽_{2}\} ≤ 𝔽_{2}^{2×2}.

Weiter sei die lineare Abbildung φ : V → 𝔽_{2}^{2×2}, X ↦ AXB gegeben, wobei A = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ]

und B = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ]. Bestimmen Sie Kern(φ) und eine Basis von Bild(φ).

Kern(φ) = (3 Punkte)

Basis von Bild(φ) = (3 Punkte)

8 Es sei M ∈ ℚ^{3×3} die folgende Matrix:

M := [ \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & −1 \\ −1 & −2 & −1 \end{matrix} ]

Berechnen Sie eine Basis von ℚ^{3×1}, die aus Eigenvektoren von M besteht.

Eigenvektorbasis: (6 Punkte)

Beantworten Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. 9 Es seien K ein Körper, V und W Vektorräume über K und φ : V → W eine lineare Abbil-

dung. Weiter seien v_{1}, v_{2} ∈ V mit v_{1} ≠ v_{2} und φ(v_{1}) = φ(v_{2}) ≠ 0. Zeigen Sie, dass (v_{1}, v_{2}) linear unabhängig ist. (4 Punkte)

10 Es seien K ein Körper, V und W Vektorräume über K der Dimension n. Zeigen Sie, dass

jede injektive lineare Abbildung φ : V → W auch surjektiv ist. (4 Punkte) 11 Eine Matrix A ∈ ℝ^{n×n} heißt schiefsymmetrisch, wenn A^{t} = −A ist. Zeigen Sie, dass jede

(n×n)-Matrix über ℝ die Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix ist. (4 Punkte)

12 Es sei K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum mit n ∈ ℕ \ {0, 1} und φ ∈

End_{K}(V). Zeigen Sie:

(a) Ist Bild(φ) = Kern(φ), dann ist n gerade. (3 Punkte)

(b) Ist n gerade, dann gibt es ein φ ∈ End_{K}(V) mit Bild(φ) = Kern(φ). (3 Punkte)