Testklausur zur Linearen Algebra I (19. 12. 97)

Professor Dr. G. Hiß, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Von den 7 gegebenen Aufgaben für insgesamt 52 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Wenn die Klausur eine Scheinklausur wäre, wären zum Bestehen mindestens 25 Punkte notwendig. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Es sei F := ℝ^{ℝ}, und für a ∈ ℝ seien f_{a} ∈ F und g_{a} ∈ F definiert durch

f_{a}(x) = a sinx − \frac{a}{2} , g_{a}(x) = sin ax für x ∈ ℝ.

(a) Ist die Teilmenge M_{1} = { f_{a} | a ∈ ℝ } von F ein Teilraum von F ?

(b) Ist die Teilmenge M_{2} = { g_{a} | a ∈ ℝ } von F ein Teilraum von F ? Antwort jeweils mit Beweis. 3 + 2 = 5 Punkte

Aufgabe 2. Welche der folgenden Abbildungen sind linear? (Antwort jeweils mit Beweis)

(a) φ: ℚ^{2} → ℚ^{2}, [ a_{1}, a_{2} ] ↦ [ a_{1}^{2} − a_{2}, a_{2}^{2} − a_{1} ],

(b) ψ: 𝔽_{2}^{2} → 𝔽_{2}^{2}, [ a_{1}, a_{2} ] ↦ [ a_{1} + a_{2}, a_{1}^{2} + a_{2}^{2} ] (mit 𝔽_{2} := ℤ/2ℤ). 2 + 3 = 5 Punkte

Aufgabe 3. Es sei K ein Körper und V = K^{4}. Zeigen Sie:

(a) Es gibt einen Endomorphismus φ von V mit Kern φ = Bild φ.

(b) Der Vektorraum K^{1997} besitzt keinen solchen Endomorphismus. 4 + 4 = 8 Punkte

Aufgabe 4.

(a) Es sei V = ℝ^{2×2}. Zeigen Sie: \{[ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ]\} ist eine Basis von V.

Es kommt hier auf die Formulierung an: Erwartet wird ein Beweis aus vollständigen Sätzen, in dem alle logischen Zusammenhänge und Quantoren klar formuliert sind. Nicht nur Stichworte.

(b) Weiter sei T = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] ∈ V und φ: V → V definiert durch φ(A) = T AT für alle A ∈ V.

Zeigen Sie, daß φ linear ist.

(c) Berechnen Sie eine Basis von Kern φ und eine Basis von Bild φ.

(d) Ergänzen Sie eine Basis von Kern φ zu einer Basis von V. (Ohne Beweis.)

4 + 2 + 4 + 1 = 11 Punkte

Aufgabe 5. Es sei K ein Körper. Beweisen Sie: Zwei endlich dimensionale Vektorräume über K sind genau dann isomorph, wenn sie die gleiche Dimension haben. Zur Erinnerung: Formulieren Sie die kausalen Zusammenhänge aus (Text!) und erklären Sie alle Bezeichnungen, die Sie verwenden (wie z. B. φ oder V).

6 Punkte

Testklausur zur Linearen Algebra I 19. 12. 97

Aufgabe 6. Es sei K ein endlicher Körper mit q Elementen, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und m ∈ ℕ mit 1 ≤ m ≤ n. Wie viele linear unabhängige m-Tupel von Vektoren gibt es in V? Antwort mit Beweis. 6 Punkte

Aufgabe 7. Gegeben seien die Matrix A = [ \begin{matrix}3 & 5 \\ 4 & 7 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{2×2} und die Basis B = \{v_{1}, v_{2}\} := \{[ \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ]\} von V := ℚ^{2×1} sowie der Endomorhismus φ: V → V, v ↦ Av (das heißt, φ = φ_{A}).

(a) Berechnen Sie die Bilder φ(v_{1}) und φ(v_{2}) sowie ihre Koordinatenvektoren κ_{B}(φ(v_{1})) und κ_{B}(φ(v_{2})).

(b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix M_{B}(φ).

(c) Bestimmen Sie eine Basis C von V, so daß M_{C}^{B}(φ) = E_{2} ist.

(d) Berechnen Sie die Fasern von v_{1} und v_{2}.

(e) Bestimmen Sie eine Basis A von V, so daß M_{B}^{A}(φ) = E_{2} ist. Vergessen Sie nicht den erläuternden Text. 4 + 1 + 1 + 4 + 1 = 11 Punkte