Aufgabenblatt 1 zur Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (16. 3. 1998)

Professor Dr. G. Hiß, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 1. Es seien V_{1} der Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ 2 über ℚ,

V_{2} der Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ 2 über ℝ, V_{3} der von { [ 3, −1, 3, 2, 1 ], [ 4, 2, −1, 1, 3 ], [ 5, 1, 1, 2, 3 ] } erzeugte Untervektorraum von ℝ^{5}, V_{4} der Quotientenvektorraum ℝ^{5}/V_{3}.

(a) Welche der Vektorräume V_{1} bis V_{4} sind isomorph, welche nicht?

(Bei dieser Aufgabe kommt es auf vollständige Begründung und sorgfältige Argumentation an.)

(b) Geben Sie für ein Paar V_{i} ≅ V_{j} mit i ≠ j einen konkreten Isomorphismus von V_{i} nach V_{j} an. (Erläutern Sie Ihre Rechnung.) 6 + 4 = 10 Punkte

Aufgabe 2. Es sei K ein endlicher Körper mit q Elementen und V = {f ∈ K[X] | deg (f) ≤ 20} der Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ 20 über K, und es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Wie viele linear unabhängige n-Tupel von Vektoren gibt es in V? Finden Sie eine geschlossene Formel, und beweisen Sie sie. 7 Punkte

Aufgabe 3. Es seien V = ℚ^{1×3} und W = ℚ^{1×2}, und es seien B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) und B′ = (v_{2} + v_{3}, 2v_{1} + 3v_{3}, v_{1} − v_{2}) Basen von V und C = (w_{1}, w_{2}) und C′ = (3w_{1} + 2w_{2}, 7w_{1} + 5w_{2}) Basen von W. Weiter sei φ die durch

die Abbildungsmatrix M_{C}^{B}(φ) = [ \begin{matrix}2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \end{matrix} ] definierte lineare Abbildung von V nach W.

(a) Berechnen Sie die Basiswechselmatrizen M_{B}^{B′}(id_{V}) sowie M_{C}^{C′}(id_{W}) und M_{C′}^{C}(id_{W}).

(b) Berechnen Sie mit Hilfe der obigen Matrizen die Abbildungsmatrix M_{C′}^{B′}(φ).

(c) Es sei v = v_{1} + v_{2} + v_{3} ∈ V. Berechnen Sie die Koordinatenvektoren κ_{C}(φ(v)) und κ_{C′}(φ(v)). Erklären Sie Ihre Rechnung, soweit nötig. 3 + 3 + 3 = 9 Punkte

Aufgabe 4. Welches ist die kleinste Zahl m, für die es ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und 5 Unbekannten über einem geeigneten Körper K gibt, das genau 64 Lösungen besitzt? (Antwort mit Beweis.) 4 Punkte

Aufgabe 5. Es sei V < ℝ[X] der Vektorraum der rellen Polynome vom Grad ≤ 3. In V seien die Teilräume

U = ⟨ X^{3} + 2X^{2} − X − 2, X^{3} + 3X^{2} − 2X + 1, X^{3} + 5X^{2} − 4X + 7 ⟩ und

W = ⟨ X^{3} + X^{2} + 3X − 2, 2X^{3} + 3X^{2} + 8X + 2 ⟩

gegeben. Berechnen Sie eine Basis von U ∩ W und eine Basis von U + W. Erläutern Sie Ihre Rechnung (und vergewissern Sie sich am Schluß, daß die Basen, die Sie angeben, tatsächlich aus Polynomen bestehen). 5 Punkte

Aufgabenblatt 2 zur Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (16. 3. 1998)

Professor Dr. G. Hiß, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 6. Invertieren Sie die Matrix A = [ \begin{matrix}10 & 1 & −2 \\ −19 & −2 & 4 \\ 25 & 3 & −5 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3}.

Sie brauchen dabei nicht anzugeben, welche elementaren Umformungen Sie benutzen. Sie müssen aber am Schluß die Matrix A^{−1} explizit angeben. Empfehlung: Vermeiden Sie bei der Rechnung Brüche. (Das Ergebnis ist ganzzahlig.) 5 Punkte

Aufgabe 7.

Für welche Werte des Parameters t ∈ ℝ ist die Matrix A = [ \begin{matrix}1 & t & 4 \\ 2 & t^{2} & 5 \\ 3 & t^{3} & 6 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{3×3} invertierbar, für welche nicht? (Antwort mit Beweis.) 3 Punkte

Aufgabe 8.

Berechnen Sie die Determinante der Matrix A = [ \begin{matrix}2 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 & 0 \\ 4 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 3 & 0 \end{matrix} ] ∈ ℤ^{4×4} mit Hilfe des Laplaceschen

Entwicklungssatzes. Entwickeln Sie dabei |A| und alle vorkommenden 3×3-Unterdeterminanten jeweils nach der letzten Spalte. (Also keine vorherigen elementaren Umformungen, Entwicklung nach anderen Spalten oder Zeilen oder Anwendung der Regel von Sarruss.) 3 Punkte

Aufgabe 9. Es sei V = ℝ^{1×3} und φ : V → V der durch φ( [ a, b, c] ) = [ 2a, a + b + 2c, −b + 4c] definierte Endomorphismus von V.

(a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix M_{B}(φ) von φ bezüglich der Standardbasis B von V.

(b) Berechnen Sie die Eigenwerte von φ und ihre algebraischen Vielfachheiten.

(c) Berechnen Sie für jeden Eigenwert von φ seinen Eigenraum und seine geometrische Vielfachheit. 1 + 3 + 6 = 10 Punkte

Aufgabe 10. Es sei K ein Körper und A = [ \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ] ∈ K^{2×2}.

(a) Berechnen Sie die zu A komplementäre Matrix Ã. (Geben Sie nicht nur das Ergebnis an, sondern zeigen Sie, wie Sie darauf gekommen sind.)

(b) Zeigen Sie, daß die zu Ã komplementäre Matrix ˜ Ã gleich A ist. 3 + 1 = 4 Punkte

Aufgabe 11. Es sei K ein Körper und a, b ∈ K. Zeigen Sie: Die Matrizen A = [ \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & b \end{matrix} ] und B = [ \begin{matrix}b & 0 \\ 0 & a \end{matrix} ] sind ähnlich.

4 Punkte