5.1.2007

Nachholklausur Intensivkurs Lineare Algebra I

Prof. Dr. G. Nebe

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Aufgabe maximal  erreicht Korrektor
1  10
2  10
3  18
4  26
5  10
6  6
Summe  80

Bitte fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an. Beachten Sie, daß der Lösungsweg und die Rechnungen mit in die Bewertung eingehen.

Aufgabe 1 (10 Punkte)

Sei A =(\begin{matrix}1 & 0 & −1 & −1 & 1 \\ −1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & −1 & 1 & 1 \end{matrix} )∈ 𝔽_{3}^{4×5}. Weiter seien b = (\begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) und c = (\begin{matrix}0 \\ −1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )∈ 𝔽_{3}^{4×1}.

(a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax = b.

(b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax = c.

Aufgabe 2 (10 Punkte) Seien p(X) = X^{3} + ωX + ω + 1 und q(X) = X^{2} + ωX ∈ 𝔽_{4}[X]. Bestimmen Sie f(X) und g(X) ∈ 𝔽_{4}[X] mit f(X)·p(X)+g(X)·q(X) = ggT(p(X), q(X)).

Aufgabe 3 (4+7+2+5=18 Punkte) Es bezeichne E = (E_{1}, …, E_{4}) die Standardbasis von V = ℝ^{4×1}. Weiter sei Φ die symmetrische Bilinearform auf V mit

EΦ^{E} = (\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}) ∈ ℝ^{4×4} .

Ferner sei U := ⟨E_{1}, E_{2}⟩ ≤ V.

(a) Zeigen Sie, daß Φ positiv definit ist.

(b) Geben Sie Orthonormalbasen von U und U^{⊥} an.

(c) Geben Sie eine Orthonormalbasis von V an.

(d) Bestimmen Sie die beste Approximation von E_{1} + E_{3} − 2E_{4} an U. (Hinweis: (a) und (b) können gleichzeitig bearbeitet werden.)

Bitte wenden!

Aufgabe 4 ((3+3)+(5+9+2+1+3)=26 Punkte) Sei V = ℝ^{n×n} versehen mit dem Skalarprodukt Φ: V × V → ℝ, (X, Y) ↦ Spur(X · Y^{tr}).

(a) Für A ∈ GL(n, ℝ) sei φ_{A}: V → V, X ↦ AXA^{−1}. Zeigen Sie: (i) Es ist φ_{A} ∈ End_{ℝ}(V). (ii) Ist A symmetrisch, so ist φ_{A} selbstadjungiert.

(b) Sei n = 2 und A := (\begin{matrix}−1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}) ∈ ℝ^{2×2}. Weiter sei

B = ((\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}))

eine Basis von V.

(i) Zeigen Sie ^{B}φ_{A}^{B} = M, wobei M = ( \begin{matrix}1 & 0 & −2 & 0 \\ −2 & −1 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{4×4}.

(ii) Bestimmen Sie μ_{φ_{A}}(X) sowie alle Eigenwerte und Eigenräume von φ_{A}.

(iii) Zeigen Sie, daß M diagonalisierbar ist und finden Sie ein T ∈ GL(4, ℝ) so, daß

T^{−1}MT Diagonalgestalt annimmt. (iv) Berechnen Sie Spur(M^{2007}).

(v) Geben Sie χ_{M}(X) und det(M) an unter Verwendung von (ii).

Hinweis: Beim Bearbeiten von (ii)-(v) dürfen Sie^{B}φ_{A}^{B} = M voraussetzen, auch wenn Sie (i) nicht gezeigt haben.

Aufgabe 5 (6+4 Punkte) Es sei K ein Körper und A ∈ K^{n×n} die Matrix, deren Einträge alle gleich 1 sind. Weiter sei B = A − cI_{n} mit c ∈ K.

(a) Zeigen Sie Rang(B) = \begin{cases}1 & falls c = 0 \\ n − 1 & falls c = n \\ n & sonst \end{cases} .

(b) Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum mit Basis (B_{1}, …, B_{n}). Weiter seien V = ∑_{i=1}^{n} B_{i} und V_{i} = V − c · B_{i} für alle 1 ≤ i ≤ n. Für welche c ∈ K bildet (V_{1}, …, V_{n}) eine Basis von V? Begründen Sie Ihre Antwort.

Aufgabe 6 (6 Punkte) Sei K ein Körper und V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Zeigen Sie: Es gibt genau dann ein φ ∈ End_{K}(V) mit Bild(φ) = Kern(φ), wenn Dim(V) gerade ist.