2. Klausur zur Linearen Algebra I (WS 88/89)

Prof. Dr. Neubüser

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Tragen Sie auf das Deckblatt, welches Sie Ihren Lösungen beiheften, Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer sowie den Namen Ihres Übungsgruppenleiters. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Die Bearbeitungszeit beträgt 150 Minuten. Bitte beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Viel Erfolg!

Aufgabe 1. 6 Punkte

Es sei V ein 4-dimensionaler Q-Vektorraum, T_{1} := ⟨( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} )⟩ ⊆ V und

T_{2} := ⟨( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ −1 \\ −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} )⟩ ⊆ V. Man bestimme Basen von ⟨T_{1}, T_{2}⟩ und T_{1} ∩ T_{2}.

Aufgabe 2. 3 Punkte

Es seien π und σ die durch \begin{matrix}i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ iπ & 2 & 3 & 4 & 5 & 1 & 7 & 6 \end{matrix} , \begin{matrix}i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ iσ & 7 & 5 & 3 & 4 & 2 & 6 & 1 \end{matrix} gegebenen

Permutationen auf 7 Ziffern. Man schreibe π und σ als Produkt ziffernfremder Zykel und berechne π^{11} und σ^{−1} · π · σ sowie das Vorzeichen von π und σ.

Aufgabe 3. 4 Punkte Es sei π eine Permutation auf n Ziffern, K ein Körper und A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ K^{n×n} mit

a_{ij} := \{ \begin{matrix}0 & falls & j ≠ iπ \\ 1 & falls & j = iπ \end{matrix} .

Man zeige mit Hilfe der Summen- Produktformel für Determinanten, daß detA = ε(π) gilt, wobei ε(π) das Vorzeichen der Permutation π ist.

Aufgabe 4. 3 Punkte Es sei K ein Körper, n eine natürliche Zahl und A ∈ K^{n×n} mit A·A^{tr} = I_{n} (Einheitsmatrix). Man zeige: detA ∈ {1, −1}.

Aufgabe 5. 4 Punkte Man berechne die Determinante der folgenden rationalen Matrix:

( \begin{matrix}−1 & −2 & 8 & −17 & 5 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 12 & 28 & −3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \end{matrix} ) .

Aufgabe 6. 3 Punkte Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über dem Körper K und X ∈ V, X ≠ 0. Man zeige, daß es ein φ ∈ V^{∗} gibt mit V = ⟨X⟩ ⊕ Kernφ.

Aufgabe 7. 4 Punkte Es sei V = R[x]_{3} der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad kleiner gleich 3. Es ist B := (1, x, x^{2}, x^{3}) eine Basis von V. Man bestimme die Koordinaten einer Basis des Annihilators von ⟨1 + x + x^{2} + x^{3}, 1 + x^{3}⟩ im Dualraum V^{∗} bezüglich der dualen Basis B^{∗}.

Aufgabe 8. Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über dem Körper K, φ ein Endomorphismus von V, X ∈ V ein Eigenvektor von φ zum Eigenwert c ∈ K (insbesondere gilt X ≠ 0!).

1. Es sei ψ := φ − a · id mit a ∈ K. 2 Punkte Man zeige, daß X auch ein Eigenvektor von ψ ist.

2. Man zeige: Ist φ invertierbar, so ist c ≠ 0. 1 Punkte

3. Man zeige: Ist φ invertierbar, so ist X auch ein Eigenvektor von φ^{−1}.

Man gebe den zugehörigen Eigenwert an. 2 Punkte

Aufgabe 9.

Es sei C der Körper der komplexen Zahlen und A := ( \begin{matrix}1 & 2 & 2 \\ −2 & −3 & −2 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} ) ∈ C^{3×3}.

1. Man bestimme die Eigenwerte von A. 4 Punkte

2. Man benutze 1. um A^{1989} zu bestimmen. 3 Punkte

Aufgabe 10. 7 Punkte Es sei B eine Basis eines 4-dimensionalen Vektorraums V über Q,

φ ein Endomorphismus von V mit _{B}φ_{B} = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 & 0 \\ −3 & 2 & 0 & 1 \\ −3 & 3 & −1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} ).

Man bestimme die Basiswechselmatrix zu einer Fächerbasis B′ von V bzgl. φ.

Aufgabe 11. Es sei V := Abb(R, R) und Φ : V × V → K definiert durch

Φ(f, g) = f(−1) · g(−1) + f(0) · g(0) + f(1) · g(1) für f, g ∈ V .

1. Man zeige: Φ ist eine symmetrische Bilinearform auf V. 2 Punkte

2. Man bestimme das Radikal von Φ. 2 Punkte

3. Es sei W der Teilraum von V der Polynomfunktionen vom Grad kleiner gleich 2. Man bestimme den Orthogonalraum von W in V. 2 Punkte

4. Sei W wie oben und Ψ : W × W → K die Einschränkung von Φ auf W × W. Man zeige: Ψ ist nicht ausgeartet. 2 Punkte