Nachholklausur zur Linearen Algebra I Teil 1 (WS 92/93)

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Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Bitte beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Welche der folgenden Relationen auf ZZ sind reflexiv, welche symmetrisch und welche transitiv? (jeweils Beweis oder Gegenbeispiel)

1. x ∼ y ⇔ x + y gerade. 3 Punkte

2. x ∼ y ⇔ x ≤ y − 1. 3 Punkte

Aufgabe 2. Es sei IF_{3} = \{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\} der \underline{Körper mit drei Elementen}. Man bestimme die \underline{Dimensionen} von T_{1}, T_{2} und des Durchschnitts der Teilräume

T_{1} = ⟨( \overline{1} \overline{1} \overline{1} \overline{0} ) , ( \overline{0} \overline{2} \overline{1} \overline{1} )⟩ und T_{2} = ⟨( \overline{2} \overline{2} \overline{1} \overline{2} ) , ( \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{2} ) , ( \overline{1} \overline{0} \overline{0} \overline{2} )⟩ von IF_{3}^{4}. 4 Punkte

Aufgabe 3. Es sei V = {a + bx + cx^{2} | a, b, c ∈ Q I } der Vektorraum aller Polynome p ∈ Q I [x] mit Grad p ≤ 2. Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis für den Teilraum T = {p ∈ V | p(5) = 0}. 3 Punkte

Aufgabe 4.

Es sei V = IR^{4} und T = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 3 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} )⟩.

a) Man berechne eine Basis von T und ergänze sie zu einer Basis von V. 3 Punkte b) Man gebe eine Basis von V /T an. 1 Punkt

Aufgabe 5. Es sei V = {a + bx + cx^{2} | a, b, c ∈ Q I } der Vektorraum aller Polynome p ∈ Q I [x] mit Grad p ≤ 2 und φ die lineare Abbildung von V nach V mit φ : V → V , p → φ(p) mit (φ(p))(x) = p′(x) + p′(x + 1), wobei p′ wie üblich die Ableitung von p nach x bezeichnet. (Die Linearität von φ braucht \underline{nicht} gezeigt zu werden.) Man bestimme alle Elemente von V, die durch φ auf x − 2 abgebildet werden. 4 Punkte

Aufgabe 6. Es sei V ein K-Vektorraum, und es seien X, Y und Z drei verschiedene Vektoren aus V. Man widerlege (durch Angabe eines Gegenbeispiels) oder beweise die folgende Behauptung: Sind die Mengen {X, Y }, {Y, Z} und {Z, X} linear unabhänigig, so ist auch die Menge {X, Y, Z} linear unabhängig. 3 Punkte Aufgabe 7. Es sei V = Q I ^{3}, W = Q I ^{2}, B eine Basis von V und C eine Basis von W. Es seien lineare

Abbildungen φ_{1}, φ_{2}, φ_{3} und φ_{4} gegeben mit _{B}φ_{1}_{C} = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 2 & −1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ), _{B}φ_{2}_{C} = ( \begin{matrix}1 & −2 \\ 2 & −4 \\ 1 & −1 \end{matrix} ),

Cφ_{3}_{B} = (_{B}φ_{1}_{C})^{t} und _{C}φ_{4}_{B} = (_{B}φ_{2}_{C})^{t}. Welche der Abbildungen sind injektiv, welche sind surjektiv? (kurze Begründung) 4 Punkte

Aufgabe 8. Man beweise oder widerlege: Der Vektorraum V = K^{5} hat für jeden Körper K mit p Elementen (p Primzahl) genauso viele ein- wie vierdimensionale Teilräume. 5 Punkte

Aufgabe 9. Es sei V = Abb(IR, IR) der Vektorraum aller Abbildungen von IR nach IR. Welche der folgenden Teilmengen von V sind Teilräume? (jeweils Beweis oder Gegenbeispiel)

a) M_{1} = {f ∈ V | f(5) = f(−5)} 3 Punkte

b) M_{2} = {f ∈ V | f(5) · f(−5) = 0} 3 Punkte

Aufgabe 10.

Es sei V = Q I ^{3} und W = Q I ^{2}. Dann ist B = \{( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} )\} eine Basis von V und

D = \{( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} )\} Basis von W. Es sei weiter eine lineare Abbildung φ von V nach

W definiert durch φ(( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} )) = ( \begin{matrix}x_{1} − x_{2} \\ x_{2} + x_{3} \end{matrix} ). Man bestimme die Matrix _{D}φ_{B} der linearen

Abbildung φ. 3 Punkte

Aufgabe 11. Es sei V ein Vektorraum, T ein Teilraum von V, der nicht nur aus dem Nullvektor besteht, und X_{1}, ..., X_{n} ∈ V, so daß (T + X_{1}, ..., T + X_{n}) eine Basis von V /T ist. Man beweise oder widerlege:

a) (X_{1}, ..., X_{n}) ist ein Erzeugendensystem von V. 1 Punkt

b) (X_{1}, ..., X_{n}) ist linear unabhängig in V. 2 Punkte

c) (X_{1}, ..., X_{n}) ist eine Basis von V. 1 Punkt

Aufgabe 12. Es sei IF_{4} der Körper mit vier Elementen. Wieviele invertierbare Matrizen gibt es in IF_{4}^{3×3}?

4 Punkte