Nachholklausur zur Linearen Algebra I Teil 2 (20. 4. 93)

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Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Bitte beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Beweisen Sie: Jedes homogene oder inhomogene lineare Gleichungssystem über einem beliebigen Körper K mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten hat entweder keine Lösung oder mindestens 2 Lösungen. 3 Punkte

Aufgabe 2.

Es sei π die durch \begin{matrix}i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ iπ & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 & 8 & 9 & 7 \end{matrix} gegebene Permutationen auf 9 Ziffern.

a) Schreiben Sie π als Produkt von ziffernfremden Zykeln. 1 Punkt b) Schreiben Sie π als Produkt von Zweierzykeln (Transpositionen). 2 Punkte c) Schreiben Sie π^{2} als Produkt von Dreierzykeln. 1 Punkt d) Beweisen Sie: π läßt sich nicht als Produkt von Dreierzykeln schreiben. 2 Punkte

Aufgabe 3. Es sei K ein Körper, n eine natürliche Zahl und A ∈ K^{n×n} mit A · A^{t} = I_{n} (Einheitsmatrix). Beweisen Sie: detA ∈ {1, −1}. 2 Punkte

Aufgabe 4.

Es sei V = IR^{3}, X = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) und Y = ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix} ). Welche der folgenden Abbildungen von V × V

nach IR sind Bilinearformen? (Falls ja, genügt ein kurzer Hinweis warum.)

1. Φ(X, Y) = x_{1} − y_{3}, 1 Punkt

2. Φ(X, Y) = x_{1}y_{2} + x_{2}y_{3} + x_{3}y_{1}. 1 Punkt

Aufgabe 5. Es sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum, φ ein Endomorphismus von V und X ∈ V ein Eigenvektor von φ zum Eigenwert c ∈ K (also insbesondere X ≠ 0). Zeigen Sie:

a) Ist ψ := φ − a · id mit a ∈ K, so ist X auch ein Eigenvektor von ψ. 2 Punkte

b) Ist φ invertierbar, so ist c ≠ 0. 2 Punkte

c) Ist φ invertierbar, so ist X auch ein Eigenvektor von φ^{−1}. 1 Punkt (Geben Sie den zugehörigen Eigenwert an.)

Aufgabe 6.

Es sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und V^{∗∗} der Bidualraum von V, und es sei T : V → V^{∗∗}, X ↦ X^{∗∗} mit X^{∗∗}(φ) = φ(X) der aus der Vorlesung bekannte Isomorphismus von V auf V^{∗∗}. Zeigen Sie: Für jeden Teilraum U ≤ V gilt:

X^{∗∗} ∈ An(An(U)) ⟺ X ∈ ⋂_{φ∈An(U)} Kern(φ) 4 Punkte Aufgabe 7.

Es sei V = IR^{4} und T = ⟨( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 4 \\ −2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} )⟩ ≤ V.

a) Geben Sie (ohne Beweis) eine Definition für den Dualraum V^{∗} von V an. 1 Punkt b) Geben Sie (ohne Beweis) eine Definition für den Annihilator An T ≤ V^{∗} an. 1 Punkt c) Geben Sie (ohne Beweis) eine Definition für die zu einer Basis von V duale Basis (von

V^{∗}) an. 1 Punkt d) Berechnen Sie den Annihilator An T. 4 Punkte

Aufgabe 8.

Im Vektorraum IR^{3} seien die Teilräume T_{1} = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−2 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} )⟩ und T_{2} = ⟨( \begin{matrix}3 \\ −2 \\ 4 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−2 \\ 3 \\ −1 \end{matrix} )⟩

gegeben. Bestimmen Sie je eine Basis für den Durchschnitt T_{1} ∩ T_{2} und das Erzeugnis ⟨T_{1}, T_{2}⟩.

5 Punkte

Aufgabe 9. Es sei V = IR^{3} und M := ( \begin{matrix}1 & 1 & −1 \\ −1 & 3 & −1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) ∈ IR^{3×3}. Es sei B die Standardbasis von V und

C eine weitere Basis von V mit der Basiswechselmatrix A := _{B}id_{C} = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & −3 \end{matrix} ). Eine lineare Abbildung φ ∈ Hom(V, V) sei gegeben durch _{B}φ_{B} = M.

a) Invertieren Sie die Matrix A. 3 Punkte b) Geben Sie (ohne Beweis) eine Formel an, in der die Abbildungsmatrix 1 Punkt

Cφ_{C} durch _{B}φ_{B} und _{B}id_{C} ausgedrückt wird.

c) Berechnen Sie _{C}φ_{C}. 2 Punkte Aufgabe 10. V, B, φ und _{B}φ_{B} seien genauso gegeben wie in Aufgbe 9.

a) Berechnen Sie die Eigenwerte von φ. 2 Punkte b) Berechnen Sie eine Fächerbasis von V bezüglich φ. 5 Punkte

Aufgabe 11. V, M, B, C und _{B}id_{C} seien genauso gegeben wie in Aufgbe 9. Weiter sei eine Bilinearform Φ auf V seien gegeben durch die Matrix _{B}Φ_{B} = M.

a) Geben Sie (ohne Beweis) eine Formel an, in der die Matrix _{C}Φ_{C} durch 1 Punkt BΦ_{B} und _{B}id_{C} ausgedrückt wird.

b) Ist Φ ein Skalarprodukt? (Antwort mit Begründung!) 1 Punkt