1. Klausur zur Linearen Algebra I (WS 92/93)

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Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Bitte beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Welche der folgenden Relationen auf ZZ sind reflexiv, welche symmetrisch und welche transitiv? (Begründung!)

1. x ∼ y ⇔ es gibt ein n ∈ ZZ mit x − y = 7n. 2 Punkte

2. x ∼ y ⇔ xy > 0. 3 Punkte

3. x ∼ y ⇔ xy ≥ 0. 3 Punkte

Aufgabe 2. Gibt es Nullteiler in dem Ring ZZ/10ZZ? (Begründung!) 3 Punkte

Aufgabe 3. Es sei ZZ_{3} = \{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\} der \underline{Körper mit drei Elementen}. Man bestimme die \underline{Dimensionen} von T_{1}, T_{2} und des Durchschnitts der Teilräume

T_{1} = ⟨( \overline{2} \overline{0} \overline{1} \overline{0} ) , ( \overline{1} \overline{1} \overline{1} \overline{1} ) , ( \overline{0} \overline{0} \overline{2} \overline{1} )⟩ und T_{2} = ⟨( \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{1} ) , ( \overline{0} \overline{0} \overline{1} \overline{2} )⟩ von ZZ_{3}^{4}. 5 Punkte

Aufgabe 4. Bestimmen Sie jeweils die Dimension und eine Basis für

1. den Q I -Vektorraum V = Abb(M, Q I ) der Abbildungen von einer Menge M = {a, b, c} in Q I , 2 Punkte

2. den Teilraum T = \{( \begin{matrix}a \\ b \\ c \\ d \end{matrix} ) | a + b = 0 und c + d = 0\} ≤ Q I ^{4}. 2 Punkte

Aufgabe 5.

Es sei V = IR^{4} und T = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \\ −2 \end{matrix} )⟩.

1. Man berechne eine Basis von T und ergänze sie zu einer Basis von V. 4 Punkte 2. Man gebe eine Basis von V /T an. 1 Punkt

Aufgabe 6.

Es sei φ : IR^{3} → IR^{2} die lineare Abbildung mit φ(( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} )) = ( \begin{matrix}x − 2y − z \\ x + y \end{matrix} ). Man bestimme

alle Elemente von IR^{3}, die durch φ auf ( \begin{matrix}−4 \\ 1 \end{matrix} ) abgebildet werden. 4 Punkte Aufgabe 7. Es sei K ein beliebiger Körper und V = K^{4711}. Es seien X_{1}, ..., X_{4711} Vektoren aus V, und es

sei φ die durch φ(( a_{1} ; ⋮ ; a_{4711} )) = ∑_{i=1}^{4711} a_{i}X_{i} definierte Abbildung von V in V. Man zeige: Ist

φ surjektiv, so ist φ auch injektiv. Hinweis: Wenn Sie einen Satz der Vorlesung verwenden, müssen Sie zeigen, daß seine Voraussetzungen erfüllt sind! 4 Punkte

Aufgabe 8. Es sei der 3-dimensionale IR-Vektorraum V = ⟨f_{1}, f_{2}, f_{3}⟩ ≤ Abb(IR, IR) mit f_{1}(x) = x + 1, f_{2}(x) = x^{2} + x und f_{3}(x) = x^{4} − 1 für alle x ∈ IR gegeben. Weiter sei W = IR^{3} und

φ : V → W die durch φ(f) = ( \begin{matrix}f(−1) \\ f(0) \\ f(1) \end{matrix} ) definierte Abbildung von V in W. Man beweise

oder widerlege:

1. φ ist linear. 2 Punkte

2. φ ist injektiv. 4 Punkte

3. φ ist surjektiv. 2 Punkte Hinweis: Sie können ohne Beweis benutzen daß (f_{1}, f_{2}, f_{3}) linear unabhängig ist.

Aufgabe 9.

Gegeben seien die Basisfolgen D = \{( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} )\} und D′ = \{( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} )\} von IR^{2}, die

Basisfolge B = \{( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )\} von IR^{3} sowie die lineare Abbildung φ : IR^{3} → IR^{2},

die durch die \underline{Koordinatenspalte} D(φ(( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix} ))) = ( \begin{matrix}2a_{1} + a_{2} \\ a_{2} − a_{3} \end{matrix} ) von φ(( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix} )) bezüglich

der Basis D für alle ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix} ) ∈ IR^{3} definiert ist. Berechnen Sie die Matrix D′φB. 5 Punkte

Aufgabe 10. Es sei IF_{2} der Körper mit zwei Elementen. Wieviele verschiedene Teilräume der Dimensionen 0, 1, 2, 3 bzw. 4 hat der Vektorraum V = IF_{2}^{4}? 5 Punkte

Aufgabe 11. Es sei V = Q I ^{3}. Welche der folgenden Teilmengen von V sind Teilräume? (Begründung!)

1. M_{1} = \{( \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ) | (a + b)c = 0\}. 2 Punkte

2. M_{2} = \{( \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ) | a^{2} = b^{2} = c^{2} und 3a = b + c\}. 4 Punkte

(Lassen Sie sich nicht verwirren !!! )