2. Klausur zur Linearen Algebra I (WS 92/93)

Lesezeit: 15 Minuten Bearbeitungszeit: 120 Minuten

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Bitte beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Es sei IF_{3} = \{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\} der Köper mit drei Elementen. Man bestimme alle Lösungen des folgenden inhomogenen Gleichungssystems über dem Köper IF_{3}. 5 Punkte

\begin{aligned}\overline{1}x_{1}+ & \overline{2}x_{2}+ & \overline{0}x_{3}+ & \overline{1}x_{4}+ & \overline{2}x_{5} & = & \overline{2} \\ \overline{2}x_{1}+ & \overline{2}x_{2}+ & \overline{1}x_{3}+ & \overline{0}x_{4}+ & \overline{1}x_{5} & = & \overline{1} \\ \overline{1}x_{1}+ & \overline{1}x_{2}+ & \overline{0}x_{3}+ & \overline{1}x_{4}+ & \overline{1}x_{5} & = & \overline{2} \\ \overline{1}x_{1}+ & \overline{2}x_{2}+ & \overline{2}x_{3}+ & \overline{1}x_{4}+ & \overline{0}x_{5} & = & \overline{0} \end{aligned}

Aufgabe 2.

Es seien U_{1} = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} )⟩ und U_{2} = ⟨( \begin{matrix}−1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 2 \\ 5 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} )⟩ Teilräume des

Q I ^{3}. Man bestimme \underline{Basen} für ⟨U_{1}, U_{2}⟩ und U_{1} ∩ U_{2}. 5 Punkte

Aufgabe 3.

1. Man berechne die Determinante der Matrix M = ( \begin{matrix}x & −1 & 3 \\ 2x − 1 & −3 & x − 7 \\ 0 & 1 & x + 4 \end{matrix} ). 2 Punkte

2. Für welche x ∈ IR ist M invertierbar ? 1 Punkt

3. Für welche x ∈ IR hat M die Determinante 1 ? 1 Punkt

4. Für diesen Fall (Determinante 1) berechne man die inverse Matrix. 3 Punkte

Aufgabe 4. Es sei A ∈ ZZ^{n×n} eine quadratische Matrix über dem Ring der ganzen Zahlen mit Determinate −1. Man beweise oder widerlege: A ist invertierbar, und A^{−1} ∈ ZZ^{n×n}. 3 Punkte

Aufgabe 5.

Es sei V = IR^{3}, X = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) und Y = ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix} ).

Welche der folgenden Abbildungen von V × V nach IR sind Bilinearformen? (Falls ja, genügt ein kurzer Hinweis warum.)

1. Φ(X, Y) = x_{1}y_{2} + x_{1}y_{3} + y_{3}, 1 Punkt

2. Φ(X, Y) = (x_{1} + x_{2} + x_{3})(y_{1} + y_{2}), 1 Punkt

3. Φ(X, Y) = x_{1}x_{2} − y_{2}y_{3}. 1 Punkt

Aufgabe 6. Es seien K ein Körper, A ∈ K^{n×n} eine invertierbare Matrix und B ∈ K^{n×n}. Es sei weiter V = K^{n} und X ein Eigenvektor bezüglich AB. Man bestimme einen Eigenvektor bezüglich BA. 4 Punkte Aufgabe 7. Es sei π die durch \begin{matrix}i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ iπ & 2 & 1 & 4 & 5 & 3 & 7 & 8 & 9 & 10 & 6 \end{matrix} gegebene Permutatione auf 10 Ziffern.

1. Man schreibe π als Produkt ziffernfremder Zykel. 1 Punkt

2. Man zeige, daß π ungerade ist. 1 Punkt

3. Man bestimme die Ordnung von π. 1 Punkt

4. Man zeige, daß man π nicht als Produkt von Fünferzykeln schreiben kann. 2 Punkte

Aufgabe 8.

Es sei die invertierbare Matrix A = ( \begin{matrix}5 & 4 & −1 \\ −2 & −1 & 1 \\ 4 & 4 & −1 \end{matrix} ) ∈ Q I ^{3×3} gegeben.

Bestimmen Sie ein Polynom f vom Grade 2, für das A^{−1} = f(A) gilt. 5 Punkte HINWEIS: Verwenden Sie den Satz von Cayley-Hamilton.

Aufgabe 9. Es sei V = Q I ^{4} und B die Standardbasis von V. Eine lineare Abbildung φ von V nach V

sei durch _{B}φ_{B} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & −1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) ∈ Q I ^{4×4} gegeben. Man bestimme eine Fächerbasis für V

bezüglich φ. 8 Punkte HINWEIS: Man kann das charakteristische Polynom von φ an der Matrix _{B}φ_{B} ablesen.

Aufgabe 10. Es sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum, V^{∗∗} der Bidualraum von V und

T : V → V^{∗∗}, X ↦ X^{∗∗} mit X^{∗∗}(φ) = φ(X)

der aus der Vorlesung bekannte Isomorphismus von V auf V^{∗∗}. Man zeige, daß für jeden Teilraum U ≤ V

X^{∗∗} ∈ An(An(U)) ⟺ X ∈ ⋂_{φ∈An(U)} Kern(φ)

gilt. 5 Punkte

Aufgabe 11. Es sei α = \sqrt{2}/2. Man zeige, daß 6 Punkte

2^{1−n} die Determinante der n × n-Matrix ( \begin{matrix}1 & −\frac{1}{2} & 0 & … & 0 \\ −\frac{1}{2} & 1 & ... & ... & ⋮ \\ 0 & ... & ... & −\frac{1}{2} & 0 \\ ⋮ & ... & −\frac{1}{2} & 1 & −α \\ 0 & … & 0 & −α & 1 \end{matrix} ) ist.