Aufgabenblatt 1 zur

Vordiplom-Klausur Lineare Algebra I (14. 4. 1993)

Professor Dr. J. Neubüser, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 1. Geben Sie jeweils eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür an, daß

a) ein inhomogenes lineares Gleichungssystem lösbar ist, 2 Punkte b) ein homogenes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. 2 Punkte

Aufgabe 2. Welche der folgenden Relationen auf ZZ sind reflexiv, welche symmetrisch und welche transitiv? (jeweils Beweis oder Gegenbeispiel!)

a) x ∼ y ⇔ ggT(x,y) = 7 3 Punkte b) x ∼ y ⇔ 1 < xy 3 Punkte

Aufgabe 3. Es sei V = {a+bx+cx^{2} | a, b, c ∈ Q I } der Vektorraum aller Polynome p ∈ Q I [x] mit Grad p ≤ 2. Welche der folgenden Teilmengen von V sind Teilräume? (jeweils Beweis oder Gegenbeispiel!)

a) M_{1} = {p ∈ V | p(0) = 1} 2 Punkte b) M_{2} = {p ∈ V | p(−2) = 0} 3 Punkte

Aufgabe 4. Es sei V = FR^{2} , und es sei E = Hom(V , V) der Endomorphismenring von V. Geben Sie einen Endomorphismus von V an, der Nullteiler von E ist, und zeigen Sie, daß er ein Nullteiler ist.

3 Punkte

Aufgabe 5. Gilt für alle Paare (φ, ψ) von linearen Abbildungen φ und ψ von FR^{2} nach FR, daß

a) Φ_{1} mit Φ_{1}(X, Y) := φ(X) + ψ(Y) eine Bilinearform auf FR^{2} ist, 3 Punkte b) Φ_{2} mit Φ_{2}(X, Y) := φ(X) · ψ(Y) eine Bilinearform auf FR^{2} ist? 3 Punkte

(jeweils Beweis oder Gegenbeispiel!)

Aufgabe 6. Es sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und V^{∗∗} der Bidualraum von V, und es sei T : V → V^{∗∗}, X ↦ X^{∗∗} mit X^{∗∗}(φ) = φ(X) der aus der Vorlesung bekannte Isomorphismus von V auf V^{∗∗}. Zeigen Sie: Für jeden Teilraum U ≤ V gilt

An U = ⋂_{X∈U} Kern X^{∗∗}. 5 Punkte

Aufgabenblatt 2 zur

Vordiplom-Klausur Lineare Algebra I (14. 4. 1993)

Professor Dr. J. Neubüser, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 7. Es sei V = FR^{3} und B = (B_{1}, B_{2}, B_{3}) eine Basis von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V sei gegeben

durch BΦB = ( \begin{matrix}1 & 3 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & −1 \end{matrix} ) . Bestimmen Sie eine Basis für das Radikal von V bezüglich Φ. 5 Punkte

Aufgabe 8. Invertieren Sie die Matrix A = ( \begin{matrix}−1 & 1 & 0 \\ 0 & −2 & 3 \\ 3 & 0 & −4 \end{matrix} ) ∈ Q I ^{3×3}. 5 Punkte

Aufgabe 9. Es sei V = {a+bx+cx^{2} | a, b, c ∈ Q I } der Vektorraum aller Polynome p ∈ Q I [x] mit Grad p ≤ 2. Eine Basis B von V ist {1, x, 1 + x^{2}} (dies ist nicht zu zeigen). Man bestimme die Matrix BφB der linearen Abbildung φ : V → V , p → φ(p) mit (φ(p))(x) = p′(x) + p(x + 1), wobei p′ wie üblich die Ableitung von p nach x bezeichnet. (Die Linearität von φ braucht nicht gezeigt zu werden.) 5 Punkte

Aufgabe 10. Es sei V der Vektorraum aller Polynome p ∈ Q I [x] mit Grad p ≤ 3 und T der von {x^{3} + 1, x^{2} + x + 3, 2x^{3} − x^{2} − x − 1} erzeugte Teilraum.

a) Bestimmen Sie eine Basis für T. 3 Punkte b) Bestimmen Sie eine Basis für V /T. 3 Punkte

Aufgabe 11. Es sei B die Standardbasis von V = FR^{3}. Eine lineare Abbildung φ von V nach V sei durch

BφB = ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 0 \end{matrix} ) ∈ FR^{3×3} gegeben. Man bestimme eine Fächerbasis für V bezüglich φ. 7 Punkte

Aufgabe 12. Es sei V = FR^{3} und B = (B_{1}, B_{2}, B_{3}) eine Basis von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V sei gegeben

durch BΦB = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 9 \end{matrix} ) . Bestimmen Sie eine normierte Orthogonalbasis von V. 7 Punkte