Aufgabenblatt 1 zur

Vordiplom-Klausur Lineare Algebra I (6. 10. 1993)

Professor Dr. J. Neubüser, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 1. Geben Sie für die folgenden Begriffe jeweils eine vollständige Definition an.

a) lineare Unabhängigkeit einer nicht leeren, nicht notwendigerweise endlichen Menge von Vektoren 2 Punkte

b) Eigenvektor 1 Punkt c) Bilinearform, Skalarprodukt, Radikal 3 Punkte

Zur Erinnerung: Vergessen Sie nicht, alle Bezeichnungen, die Sie einführen, zu erklären.

Aufgabe 2. Welche der folgenden Relationen auf ZZ sind reflexiv, welche symmetrisch und welche transitiv? (jeweils Beweis oder Gegenbeispiel!)

a) x ∼ y ⇔ x teilt y − 7 3 Punkte b) x ∼ y ⇔ xy ≤ 0 3 Punkte

Aufgabe 3. Es sei V = {a+bx+cx^{2} | a, b, c ∈ Q I } der Vektorraum aller Polynome p ∈ Q I [x] mit Grad p ≤ 2. Welche der folgenden Teilmengen von V sind Teilräume? (jeweils Beweis oder Gegenbeispiel!)

a) M_{1} = {p ∈ V | (x − 1) teilt p} 3 Punkte b) M_{2} = {p ∈ V | x teilt (p − 1)} 2 Punkte

Aufgabe 4. Es sei R ein kommutativer Ring mit Einselement, und es sei a ein Nullteiler von R. Zeigen Sie, daß a in R kein (multiplikatives) Inverses besitzt. 3 Punkte

Aufgabe 5. T_{1} und T_{2} seien zwei Teilräume eines K-Vektorraums V, und es sei T_{1}∩T_{2} ≠ T_{1} und T_{1}∩T_{2} ≠ T_{2}. Zeigen Sie, daß T_{1} ∪ T_{2} kein Teilraum von V ist. 3 Punkte

Aufgabe 6. Es sei V = ⟨B_{1}, …, B_{6}⟩ ein 6-dimensionaler K-Vektorraum, und es seien T_{1} ein 3-dimensionaler und T_{2} ein 5-dimensionaler Teilraum von V. Der Durchschnitt T_{1} ∩ T_{2} habe die Dimension d.

a) Welche Werte kann d annehmen? (Antwort mit Begründung) 2 Punkte b) Geben Sie für jeden dieser Werte ein Beispiel für zwei entsprechende

Teilräume T_{1} und T_{2} an. 2 Punkte

Aufgabe 7. Es sei V ein K-Vektorraum, T ein Teilraum von V, der nicht nur aus dem Nullvektor besteht, und X_{1}, …, X_{n} ∈ V, so daß (T + X_{1}, …, T + X_{n}) eine Basis des Restklassenraums V/T ist. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.

a) (X_{1}, …, X_{n}) ist ein Erzeugendensystem von V. 2 Punkte b) (X_{1}, …, X_{n}) ist linear unabhängig in V. 2 Punkte

Aufgabenblatt 2 zur

Vordiplom-Klausur Lineare Algebra I (6. 10. 1993)

Professor Dr. J. Neubüser, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 8. Es sei Φ ein nicht ausgeartetes Skalarprodukt auf einem K-Vektorraum V.

a) Zeigen Sie: Gilt für zwei Vektoren Y_{1}, Y_{2} ∈ V, daß Φ(X, Y_{1}) = Φ(X, Y_{2}) für alle X ∈ V, so folgt Y_{1} = Y_{2}. 2 Punkte

b) Zeigen Sie mit Hilfe von a): Ist Φ wie oben und φ eine Abbildung von V in V, so daß

Φ(X, Y) = Φ(X, φ(Y)) für alle X, Y ∈ V, so ist φ linear. 3 Punkte Zur Erinnerung: Vergessen Sie nicht, alle auftretenden Quantoren hinzuschreiben.

Aufgabe 9. Es sei V = FR^{4} und T = ⟨( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 4 \\ −2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} )⟩ ≤ V. Bestimmen Sie den Annihilator An T ≤ V^{∗}.

5 Punkte

Aufgabe 10. Es sei V der von der Menge B = {sin^{2}x, sinxcosx, cos^{2}x} ⊂ Abb(FR, FR) erzeugte 3-dimensio-nale Vektorraum. Dann ist B eine Basis von V. Ferner sei die (bekanntlich lineare) Abbildung φ : V → V, f(x) ↦ f′(x) + f′′(x) gegeben, wobei f′ und f′′ die gewöhnliche erste und zweite Ableitung von f nach x bezeichnen.

a) Berechnen Sie die Abbildungsmatrix _{B}φ_{B}. 5 Punkte b) Berechnen Sie Kernφ (und vergessen Sie dabei nicht, daß V aus Funktionen und nicht

aus Zahlenspalten besteht). 3 Punkte

Aufgabe 11. Invertieren Sie die Matrix M = ( \begin{matrix}1 & −2 & −6 \\ −1 & −2 & 1 \\ 1 & 1 & −2 \end{matrix} ) ∈ Q I ^{3×3}. 5 Punkte

Aufgabe 12. Es sei V = Q I ^{3} und B die Standardbasis von V, und es sei M die in Aufgabe 11 gegebene Matrix. Eine lineare Abbildung φ von V nach V sei durch _{B}φ_{B} = M gegeben.

a) Berechnen Sie die Eigenwerte von φ und ihre Vielfachheiten. 3 Punkte b) Berechnen Sie zu jedem Eigenwert von φ den zugehörigen Eigenvektorraum. 2 Punkte

Aufgabe 13. Es sei V = FR^{3} und B = (B_{1}, B_{2}, B_{3}) eine Basis von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V sei gegeben

durch BΦB = ( \begin{matrix}1 & −2 & 2 \\ −2 & 3 & −1 \\ 2 & −1 & 4 \end{matrix} ) . Bestimmen Sie eine normierte Orthogonalbasis von V. 7 Punkte