1. Ersatzhalbklausur zur Linearen Algebra I (11. 4. 97)

Professor Dr. J. Neubüser, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Von den 8 gegebenen Aufgaben für insgesamt 39 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Auf der Menge ℤ der ganzen Zahlen definieren wir eine Verknüpfung ∘ durch

a ∘ b = a + b + 3 für alle a, b ∈ ℤ.

Ist (ℤ, ∘) eine Gruppe? (Antwort mit Beweis.) 3 Punkte

Aufgabe 2. Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, T ein echter Teilraum von V (also T ≤ V und T ≠ V) und W = Hom (V, V).

(a) Ist M_{1} = {φ ∈ W | T ≤ Kern φ} ein Teilraum von W?

(b) Ist M_{2} = {φ ∈ W | Kern φ ≤ T } ein Teilraum von W? Antwort jeweils mit Begründung. (Quantoren nicht vergessen!) 3 + 3 = 6 Punkte

Aufgabe 3. Es sei V = ℤ_{2}^{3} der 3-dimensionale Vektorraum über dem \underline{Körper ℤ_{2} mit 2 Elementen}. Untersuchen Sie, ob die durch

R = { (X, Y) ∈ V × V | X + Y = 0 ∈ V }

definierte Relation auf V reflexiv, symmetrisch oder transitiv ist. Antwort jeweils mit Begründung. (Quantoren nicht vergessen!) 1 + 1 + 1 = 3 Punkte

Aufgabe 4. Beweisen oder widerlegen Sie (durch ein konkretes Gegenbeispiel) jeweils die folgenden Behauptungen.

(a) Ist R ein Ring und sind a und b Nullteiler von R, so ist auch a + b ein Nullteiler von R.

(b) Ist R ein Ring und sind a und b Nullteiler von R, so ist auch a·b ein Nullteiler von R. 3 + 3 = 6 Punkte

1. Ersatzhalbklausur zur Linearen Algebra I (11. 4. 97) Blatt 2

Aufgabe 5. Es sei V ≤ ℝ[x] der Vektorraum aller Polynome über ℝ vom Grad ≤ 3, und es sei

T = ⟨x^{3} + x − 2, 2x^{3} − x^{2} − 1, 3x^{3} − 2x^{2} − x⟩ ≤ V.

Berechnen Sie eine Basis von V/T. (Eine ausreichende Erläuterung der Rechenschritte ist wichtig. Formulieren Sie das Ergebnis in einem Schlußsatz.) 5 Punkte

Aufgabe 6. Es sei K ein beliebiger Körper und V ein 3-dimensionaler K-Vektorraum mit Basis (B_{1}, B_{2}, B_{3}). Wir betrachten die Teilräume T_{1} = ⟨B_{1}⟩ und T_{2} = ⟨B_{1}, B_{2}⟩ von V. Es sei

F = { φ ∈ Hom (V, V) | φ(T_{1}) ≤ T_{1} und φ(T_{2}) ≤ T_{2} }

die Menge aller linearer Abbildungen von V nach V, die T_{1} und T_{2} jeweils in sich abbilden.

(a) Zeigen Sie, daß F ein Teilraum von Hom (V, V) ist.

(b) Welche Dimension hat F? (Antwort mit Begründung.) 2 + 4 = 6 Punkte

Aufgabe 7. Es sei V = ℝ^{3} und B = (X_{1}, X_{2}, X_{3}) eine Basis von V. Durch die Basiswechselmatrix

Bid_{C} = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] und die Abbildungsmatrix _{B}φ_{B} = [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{matrix} ] seien eine weitere Basis

C = (Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}) von V und eine lineare Abbildung φ: V → V gegeben.

(a) Berechnen Sie die Basiswechselmatrix _{C}id_{B}.

(b) Berechnen Sie die Abbildungsmatrix _{C}φ_{C}.

(c) Kann man mit Hilfe der oben genannten Matrizen das Bild φ(X) des Vektors X = [ \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 7 \end{matrix} ] aus V berechnen? (Wenn ja, wie? Wenn nein, warum nicht?) 2 + 2 + 2 = 6 Punkte

Aufgabe 8. In V = ℤ_{5}^{3} seien die Teilräume T_{1} = ⟨[ \overline{1} \overline{1} \overline{1} ] , [ \overline{1} \overline{2} \overline{3} ]⟩ und T_{2} = ⟨[ \overline{2} \overline{0} \overline{1} ] , [ \overline{3} \overline{1} \overline{0} ]⟩ gegeben.

Berechnen Sie mit Hilfe des Zassenhaus-Algorithmus eine Basis von ⟨T_{1}, T_{2}⟩ und eine Basis von T_{1} ∩ T_{2}. (Formulieren Sie die Ergebnisse in einem Schlußsatz.) 4 Punkte