2. Ersatzhalbklausur zur Linearen Algebra I (11. 4. 97)

Professor Dr. J. Neubüser, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Von den 6 gegebenen Aufgaben für insgesamt 45 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1.

(a) Gibt es (über einem geeigneten Körper) ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 4 Unbekannten, das genau 16 Lösungen hat?

(b) Gibt es (über einem geeigneten Körper) ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 5 Unbekannten, das genau 32 Lösungen hat?

(Antwort jeweils mit konkretem Beispiel und Beweis oder mit Gegenbeweis. Ausführliche und vollständige Argumentation ist wichtig.) 3 + 3 = 6 Punkte

Aufgabe 2.

Es sei π die durch \begin{matrix}i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ iπ & 9 & 5 & 1 & 7 & 12 & 6 & 10 & 11 & 3 & 2 & 8 & 4 \end{matrix} gegebene Permutation

aus S_{12}, und es sei ρ = (1, 11, 4, 8)(2, 9, 3)(5, 12, 7, 10, 6) ∈ S_{12}.

(a) Schreiben Sie π und π^{−1} jeweils als Produkt ziffernfremder Zykel.

(b) Berechnen Sie die Permutationen π·ρ und ρ·π (in Zykelschreibweise).

(c) Schreiben Sie π als Produkt von Transpositionen.

(d) Kann man ρ als Produkt von Dreierzykeln schreiben? (Antwort mit Begründung.)

(e) Berechnen Sie die Ordnung von π. 1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 6 Punkte

Aufgabe 3. Es sei B die Standardbasis von ℝ^{3} und φ der durch _{B}φ_{B} = [ \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & −1 & 3 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{3×3} definierte Endomorphismus von ℝ^{3}.

(a) Berechnen Sie die Eigenwerte von φ und ihre Vielfachheiten.

(b) Berechnen Sie zu jedem Eigenwert von φ den zugehörigen Eigenraum.

(c) Berechnen Sie eine Fächerbasis C von ℝ^{3} bezüglich φ sowie die zugehörige Abbildungs-

matrix _{C}φ_{C}.

3 + 1 + 5 = 9 Punkte

2. Ersatzhalbklausur zur Linearen Algebra I (11. 4. 97) Blatt 2

Aufgabe 4. Gilt für alle Paare (φ, ψ) von linearen Abbildungen φ und ψ von ℝ^{2} nach ℝ, daß

(a) Φ_{1} mit Φ_{1}(X, Y) = φ(X) + ψ(Y) eine Bilinearform auf ℝ^{2} ist,

(b) Φ_{2} mit Φ_{2}(X, Y) = φ(X) · ψ(Y) eine Bilinearform auf ℝ^{2} ist? (Antwort jeweils mit Beweis oder konkretem Gegenbeispiel. Quantoren nicht vergessen!) 3 + 3 = 6 Punkte

Aufgabe 5. Es sei V der ℝ-Vektorraum der reellen Polynome vom Grad ≤ 2 und B = (p_{0}, p_{1}, p_{2}) eine Basis

von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V sei durch die Matrix _{B}Φ_{B} = [ \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} ] gegeben.

(a) Berechnen Sie das Radikal von V bezüglich Φ. (Wichtig ist eine ausreichende Begründung und Erläuterung Ihrer Rechnung. Formulieren Sie das Ergebnis in einem Schlußsatz.)

(b) Ist Φ ausgeartet? (Antwort mit Begründung.) 5 + 1 = 6 Punkte

Aufgabe 6. Es sei V = ℝ^{3} und B = (X_{1}, X_{2}, X_{3}) eine Basis von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V sei durch

die Matrix _{B}Φ_{B} = [ \begin{matrix}2 & 4 & 2 \\ 4 & 9 & 6 \\ 2 & 6 & 4 \end{matrix} ] gegeben.

(a) Berechnen Sie mit dem Gram-Schmidt-Verfahren eine Orthogonalbasis C = (Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}) von V bezüglich Φ, und geben Sie die Basiswechselmatrix _{B}id_{C} sowie die Matrix _{C}Φ_{C} an. (Es geht in dieser Aufgabe um das Gram-Schmidt-Verfahren. Die Benutzung anderer Verfahren wird nicht gewertet.)

(b) Ist Φ positiv definit? (Antwort mit Begründung.)

(c) Bestimmen Sie Index und Signatur von Φ. (Mit Erläuterung.)

(d) Durch die Basiswechselmatrix _{B}id_{A} = [ \begin{matrix}1 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] sei eine weitere Basis A von V ge-

geben. Berechnen Sie die Matrix _{A}Φ_{A} von Φ bezüglich A. 7 + 1 + 2 + 2 = 12 Punkte