1. Halbklausur zur Linearen Algebra I (20. 12. 96)

Professor Dr. J. Neubüser, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Von den 9 gegebenen Aufgaben für insgesamt 51 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Auf der Menge M = ℚ \ {1} definieren wir eine Verknüpfung ∘ durch a ∘ b = (a − 1) · (b − 1) + 1 für a, b ∈ M.

(a) Zeigen Sie, daß ∘ assoziativ ist. (Hinweis: Multiplizieren Sie dabei die Klammerausdrücke nicht aus.)

(b) Gibt es in M ein neutrales Element bezüglich ∘?

(c) Ist M eine Gruppe? 6 Punkte

Aufgabe 2. Im Vektorraum V = K^{2} über einem Körper K sei die Teilmenge M = \{[ \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ] | a + b = a^{2} \} gegeben. Untersuchen Sie, ob M ein Teilraum von V ist

(a) für den Fall K = ℤ_{2},  (b) für den Fall K = ℤ_{3}.  4 Punkte

Aufgabe 3. Welche der folgenden Abbildungen von ℝ^{3} in ℝ^{3} sind linear?

(a) φ_{1} ([ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ]) = [ \begin{matrix}x_{1} − x_{2} \\ x_{1} − x_{3} \\ x_{1} + 2x_{2} − 3x_{3} \end{matrix} ], (b) φ_{2} ([ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ]) = [ \begin{matrix}3 + x_{2} \\ 2 + x_{1} \\ 0 \end{matrix} ].

Berechnen Sie jeweils eine Basis von Kern φ_{i} und von Bild φ_{i}, wenn φ_{i} linear ist. 9 Punkte

Aufgabe 4. Auf ℤ sei die Relation R = { (a, b) ∈ ℤ × ℤ | a ≤ 2b } gegeben. Untersuchen Sie, ob R reflexiv, symmetrisch oder transitiv ist. (Antwort jeweils mit Begründung) 3 Punkte

Aufgabe 5. Im Restklassenring ℤ_{19} sei das Element a = \overline{9} gegeben. Berechnen Sie mit Hilfe der in den Hausaufgaben geübten Methode, also ohne a zu potenzieren und ohne euklidischen Algorithmus,

(a) das Element a^{7},  (b) das Element a^{−1}.  4 Punkte

1. Halbklausur zur Linearen Algebra I 20. 12. 96

Aufgabe 6.

In V = ℝ^{3} seien die Vektoren X = [ \begin{matrix}4 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ] und Y = [ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ −2 \end{matrix} ] sowie der Teilraum T = ⟨[ \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ]⟩

gegeben. Zeigen Sie, daß die Folge der Restklassen (T + X, T + Y) linear unabhängig ist.

6 Punkte

Aufgabe 7.

Invertieren Sie die Matrix A = [ \begin{matrix}−1 & 1 & 0 \\ 0 & −2 & 3 \\ 3 & 0 & −4 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3} mit Hilfe des in der Vorlesung

vorgestellten Verfahrens. 5 Punkte

Aufgabe 8.

Im Spaltenraum ℝ^{3} seien die Vektoren X = [ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ], Y = [ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ] und Z = [ \begin{matrix}2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} ] gegeben. Gibt

es eine lineare Abbildung φ: ℝ^{3} → ℝ^{3} mit φ(X) = Y, φ(Y) = X und φ(Z) = Z? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht? (Auf die Begründung kommt es an.) 6 Punkte

Aufgabe 9.

In Abb (ℝ, ℝ) seien die Funktionen f_{1}, f_{2}, g_{1} und g_{2} gegeben durch

f_{1}(x) = 2e^{3x} − e^{−2x}, f_{2}(x) = −e^{3x} + e^{−2x}, g_{1}(x) = e^{3x}, g_{2}(x) = e^{−2x}.

Wir betrachten den Teilraum V = ⟨f_{1}, f_{2}⟩. Offensichtlich sind C = (f_{1}, f_{2}) und B = (g_{1}, g_{2}) Basen von V, und es gibt zwei lineare Abbildungen φ und ψ von V in V mit φ(f) = f′ und ψ(f) = f^{(19)} (neunzehnte Ableitung von f) für f ∈ V (nicht zu beweisen). Berechnen Sie

(a) die Basiswechselmatrizen _{B}id_{C} und _{C}id_{B} sowie die Abbildungsmatrizen _{B}φ_{B} und _{C}φ_{C},

(b) die Abbildungsmatrizen _{B}ψ_{B} und _{C}ψ_{C}. (Hier genügt es, wenn Sie die großen Zahlen in den Matrizen als Summen von Potenzen schreiben.) 8 Punkte