Aufgabenblatt 1 zur Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (17. 3. 1997)

Professor Dr. J. Neubüser, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 1. Welche Elemente des Restklassenrings ℤ_{128} = ℤ/128 ℤ sind Nullteiler? Geben Sie nicht eine Liste aller dieser Elemente, sondern eine Beschreibung, die es gestattet, durch Betrachtung einer Zahl z ∈ ℤ sofort zu entscheiden, ob \overline{z} = 128 ℤ + z ein Nullteiler ist oder nicht. (Mit Begründung.) 3 Punkte

Aufgabe 2. Es sei V ein 3-dimensionaler ℝ-Vektorraum und X ∈ V. Wir betrachten den ℝ-Vektorraum W := Hom (V, V) der linearen Abbildungen von V nach V.

(a) Ist M_{1} = {φ ∈ W | X ∈ Kern φ} ein Teilraum von W?

(b) Ist M_{2} = {φ ∈ W | ⟨X⟩ = Kern φ} ein Teilraum von W? Antwort jeweils mit Begründung. (Quantoren nicht vergessen!) 3 + 3 = 6 Punkte

Aufgabe 3. Es sei K ein Körper. Für jedes n ∈ ℕ ∪ {0} sei V_{n} ein n-dimensionaler Vektorraum über K. Wir definieren jeweils auf V_{n} eine Relation R_{n} durch

R_{n} = { (X, Y) ∈ V_{n} × V_{n} | (X, Y) ist linear abhängig }.

(a) Für welche n ist R_{n} reflexiv, für welche nicht?

(b) Für welche n ist R_{n} symmetrisch, für welche nicht?

(c) Für welche n ist R_{n} transitiv, für welche nicht? Antwort jeweils mit Beweis. (Quantoren nicht vergessen!) 1 + 1 + 2 = 4 Punkte

Aufgabe 4. Im Vektorraum V = ℝ^{4} sei der Teilraum T = ⟨[ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ]⟩ gegeben. Berechnen Sie eine Basis von V/T. (Formulierung und Begründung sind wichtig.) 4 Punkte

Aufgabe 5. Im Vektorraum V = ℝ^{2} seien zwei Basen B = (B_{1}, B_{2}) und C = (C_{1}, C_{2}) mit der Basiswechselmatrix

Bid_{C} = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] gegeben. Es sei A = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×2}.

Wir betrachten den durch _{B}φ_{B} = A definierten Endomorphismus φ von V und das durch _{B}Φ_{B} = A definierte Skalarprodukt Φ auf V.

(a) Berechnen Sie die Basiswechselmatrix _{C}id_{B} sowie die Matrizen _{C}φ_{C} und _{C}Φ_{C}.

(b) Was bedeutet es für die Basisvektoren B_{1} und B_{2}, daß die Komponente [_{B}Φ_{B}]_{12} von _{B}Φ_{B} (also der Eintrag in der ersten Zeile, zweiten Spalte von _{B}Φ_{B}) gleich 0 ist?

(c) Was bedeutet es für den Basisvektor B_{2}, daß die Komponente [_{B}φ_{B}]_{12} von _{B}φ_{B} gleich 0 ist? 3 + 1 + 1 = 5 Punkte

Aufgabe 6. Es sei K ein Körper, V = K^{2×2} der Vektorraum der 2 × 2 Matrizen über K und φ : V → K die

Abbildung, die jede Matrix [a_{ij}] aus V auf die Summe ∑_{i=1}^{2} ∑_{j=1}^{2} a_{ij} ihrer Einträge abbildet. (a) Zeigen Sie: φ ist ein lineares Funktional von V.

(b) Berechnen Sie eine Basis von Bild φ.

(c) Berechnen Sie eine Basis von Kern φ. Formulieren Sie das Ergebnis jeweils in einem Schlußsatz. 3 + 2 + 4 = 9 Punkte

Aufgabenblatt 2 zur Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (17. 3. 1997)

Professor Dr. J. Neubüser, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 7. Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Behauptung.

Jedes lösbare inhomogene lineare Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 7 Unbekannten über einem beliebigen Körper hat mehr als 10 Lösungen.

(Ausführliche und vollständige Argumentation ist wichtig.) 5 Punkte

Aufgabe 8. Es sei K ein Körper, V ein 7-dimensionaler K-Vektorraum, W ein 3-dimensionaler K-Vektorraum und φ ∈ Hom (V, W). Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Behauptung.

Jede Restklasse von Kern φ enthält mehr als 10 Elemente. (Ausführliche und vollständige Argumentation ist wichtig.) 5 Punkte

Aufgabe 9. Invertieren Sie die Matrix A = [ \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3} mit Hilfe des in der Vorlesung vorgestellten

Verfahrens. (Sie brauchen dabei nicht anzugeben, welche elementaren Umformungen Sie benutzen. Sie müssen aber am Schluß die Matrix A^{−1} explizit angeben.) 5 Punkte

Aufgabe 10. Es sei B die Standardbasis von ℝ^{3} und φ der durch _{B}φ_{B} = [ \begin{matrix}3 & −1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & −3 & 0 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{3×3} definierte Endomorphismus von ℝ^{3}.

(a) Berechnen Sie die Eigenwerte von φ und ihre Vielfachheiten.

(b) Berechnen Sie zu jedem Eigenwert von φ den zugehörigen Eigenraum.

(c) Berechnen Sie eine Fächerbasis C von ℝ^{3} bezüglich φ sowie die zugehörige Abbildungsmatrix

Cφ_{C}. 3 + 1 + 5 = 9 Punkte

Aufgabe 11. Es sei V der ℝ-Vektorraum der reellen Polynome vom Grad ≤ 3 und B = (p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}) eine Basis von V. Berechnen Sie den Annihilator des Teilraums

T = ⟨ p_{0} + 2p_{1} + p_{2} + 3p_{3}, 2p_{0} + 3p_{1} + p_{2} + 5p_{3} ⟩ ≤ V

im Dualraum V^{∗} von V. (Wichtig ist eine ausreichende Begründung und Erläuterung Ihrer Rechnung. Formulieren Sie das Ergebnis in einem Schlußsatz.) 5 Punkte

Aufgabe 12. Es sei V = ℝ^{3} und B = (X_{1}, X_{2}, X_{3}) eine Basis von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V sei durch die

Matrix _{B}Φ_{B} = [ \begin{matrix}2 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} ] gegeben.

(a) Berechnen Sie mit dem Gram-Schmidt-Verfahren eine Orthogonalbasis C = (Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}) von V bezüglich Φ, und geben Sie die Basiswechselmatrix _{B}id_{C} sowie die Matrix _{C}Φ_{C} an. (Es geht in dieser Aufgabe um das Gram-Schmidt-Verfahren. Die Benutzung anderer Verfahren wird nicht gewertet.)

(b) Ist Φ positiv definit? (Antwort mit Begründung.)

(c) Bestimmen Sie Index und Signatur von Φ. (Mit Erläuterung.) 7 + 1 + 2 = 10 Punkte