Aufgabenblatt 1 zur Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (18. 9. 1997)

Professor Dr. G. Hiß, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 1. Es sei V = ℝ^{2×2} der ℝ-Vektorraum aller 2 × 2 Matrizen über ℝ.

(a) Ist M_{1} = {A ∈ V | Spur A = 0} ein Teilraum von V?

(b) Ist M_{2} = {A ∈ V | det A = 0} ein Teilraum von V? Antwort jeweils mit Begründung. 3 + 2 = 5 Punkte (Zur Erinnerung: Die Spur einer quadratischen Matrix ist die Summe ihrer Diagonalglieder.)

Aufgabe 2. Es sei V ≤ ℝ[x] der Vektorraum aller Polynome über ℝ vom Grad ≤ 3, und es sei

T = ⟨ x^{3} + x^{2} + 1, x^{2} + x + 2, 2x^{3} + x^{2} − x ⟩ ≤ V.

Berechnen Sie eine Basis von V/T. Erläutern Sie Ihre Rechnung und formulieren Sie das Ergebnis in einem Schlußsatz. 5 Punkte

Aufgabe 3. Über dem Körper ℤ_{5} = ℤ/5ℤ mit 5 Elementen seien der Vektorraum V = ℤ_{5}^{3} sowie die Teilräume

T_{1} = ⟨[ \overline{1} \overline{2} \overline{3} ] , [ \overline{4} \overline{1} \overline{1} ]⟩ und T_{2} = ⟨[ \overline{2} \overline{1} \overline{3} ] , [ \overline{3} \overline{4} \overline{0} ]⟩ gegeben. Berechnen Sie mit Hilfe des Zassenhaus-

Algorithmus eine Basis von ⟨T_{1}, T_{2}⟩ und eine Basis von T_{1} ∩ T_{2}. Formulieren Sie die Ergebnisse in einem Schlußsatz. 4 Punkte

Aufgabe 4.

(a) Beweisen Sie: Es gibt höchstens vier verschiedene (also nicht isomorphe) Körper, über denen es ein homogenes lineares Gleichungssystem mit genau 64 Lösungen gibt.

(b) Über welchen dieser vier Körper gibt es ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 5 Unbekannten, das genau 64 Lösungen hat? Anleitung: Geben Sie jeweils ein konkretes Beispiel für ein solches Gleichungssystem an, oder beweisen Sie, daß es kein solches Gleichungssytem gibt.

(Ausführliche und vollständige Argumentation ist wichtig.) 4 + 4 = 8 Punkte

Aufgabe 5. Im Vektorraum V = ℝ^{2} seien zwei Basen B = (B_{1}, B_{2}) und C = (C_{1}, C_{2}) mit der Basiswechselmatrix

Bid_{C} = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ] gegeben. Es sei A = [ \begin{matrix}0 & 2 \\ 2 & 0 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×2}.

Wir betrachten den durch _{B}φ_{B} = A definierten Endomorphismus φ von V und das durch _{B}Φ_{B} = A definierte Skalarprodukt Φ auf V.

(a) Berechnen Sie die Basiswechselmatrix _{C}id_{B} sowie die Matrizen _{C}φ_{C} und _{C}Φ_{C}.

(b) Welche Eigenschaft des Basisvektors C_{1} (bzw. C_{2}) kann man aus den Nullen in _{C}φ_{C} ablesen?

(c) Welche Eigenschaft des Basisvektors B_{1} (bzw. B_{2}) kann man aus den Nullen in _{B}Φ_{B} ablesen?

(d) Welche Eigenschaft der Basisvektoren C_{1} und C_{2} kann man aus den Nullen in _{C}Φ_{C} ablesen?

(e) Kann man das Bild φ(X) des Vektors X = [ \begin{matrix}−1 \\ 2 \end{matrix} ] ∈ V mit Hilfe der oben genannten Matrizen berechnen? Wenn ja, wie? Wenn nein, warum nicht? 4 + 1 + 1 + 1 + 2 = 9 Punkte

Aufgabenblatt 2 zur Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (18. 9. 1997)

Professor Dr. G. Hiß, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 6. Für n ∈ ℕ betrachten wir den Vektorraum V = ℝ^{n}. Beweisen Sie:

(a) Ist n gerade, so gibt es einen Endomorphismus φ von V mit Kern φ = Bild φ.

(Konkretes Beispiel mit Begründung.)

(b) Ist n ungerade, so gibt es keinen solchen Endomorphismus. 5 + 3 = 8 Punkte

Aufgabe 7. Invertieren Sie die Matrix A = [ \begin{matrix}2 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 6 \\ 3 & 1 & 4 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3}. (Sie brauchen dabei nicht anzugeben, welche

elementaren Umformungen Sie benutzen. Sie müssen aber am Schluß die Matrix A^{−1} explizit angeben.) Empfehlung: Vermeiden Sie bei der Rechnung Brüche (das Ergebnis ist ganzzahlig). 5 Punkte

Aufgabe 8. Gegeben sei die Matrix A = [ \begin{matrix}10 & 4 & −12 \\ 0 & 2 & 0 \\ 8 & 4 & −10 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3}. Berechnen Sie

(a) die Eigenwerte von A und ihre Vielfachheiten,

(b) zu jedem Eigenwert von A den zugehörigen Eigenraum,

(c) eine Matrix T ∈ ℚ^{3×3}, so daß T^{−1}AT Diagonalgestalt hat. 3 + 3 + 1 = 7 Punkte

Aufgabe 9. Es sei V = ℝ^{3} und B = (X_{1}, X_{2}, X_{3}) eine Basis von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V sei durch die

Matrix _{B}Φ_{B} = [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{matrix} ] gegeben.

(a) Berechnen Sie das Radikal von V bezüglich Φ. (Wichtig ist eine ausreichende Begründung und Erläuterung Ihrer Rechnung. Formulieren Sie das Ergebnis in einem Schlußsatz. Beachten Sie dabei, daß B nicht die Standardbasis von V zu sein braucht.)

(b) Ist Φ ausgeartet? (Antwort mit Begründung.) 5 + 1 = 6 Punkte

Aufgabe 10. Es sei V = ℝ^{3} und B = (X_{1}, X_{2}, X_{3}) eine Basis von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V sei durch die

Matrix _{B}Φ_{B} = [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 3 & 4 & 4 \end{matrix} ] gegeben.

(a) Berechnen Sie mit dem Gram-Schmidt-Verfahren eine Orthogonalbasis C = (Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}) von V bezüglich Φ, und geben Sie die Basiswechselmatrix _{B}id_{C} sowie die Matrix _{C}Φ_{C} an. (Es geht in dieser Aufgabe um das Gram-Schmidt-Verfahren. Die Benutzung anderer Verfahren wird nicht gewertet.)

(b) Ist Φ positiv definit? (Antwort mit Begründung.)

(c) Bestimmen Sie Index und Signatur von Φ. (Mit Erläuterung.) 7 + 1 + 2 = 10 Punkte