Vordiplomklausur Lineare Algebra I 27.3.2001

Ankreuzteil

Aufgabe 1. Es sei K ein Körper und V = K^{2×2} der K-Vektorraum der 2 × 2-Matrizen. Welche der folgenden Teilmengen sind Teilräume (d.h. Untervektorräume)? {A ∈ V | det A = 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein {A ∈ V | A^{2} = E_{2}} (E_{2} ist die Einheitsmatrix) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein \{A ∈ V | A + A^{T} = \underline{0}\} (\underline{0} ist die Nullmatrix) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein \{A ∈ V | A + sE_{2} = \underline{0} für ein s ∈ K\} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

\{A ∈ V |A · [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] = \underline{0}\} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

{A ∈ V | Spur A = 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 2. Welche der folgenden Abbildungen sind ℝ-linear?

φ : ℝ^{2} → ℝ, (x_{1}, x_{2}) ↦ x_{1} + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

φ : ℝ^{2} → ℝ, (x_{1}, x_{2}) ↦ x_{1} · x_{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

φ : ℝ → ℝ^{2}, x ↦ (x, 2x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

φ : ℝ → ℝ^{2}, x ↦ (x − 1, x + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

φ : ℝ → ℝ^{2}, x ↦ (2x, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

φ : ℝ^{2×2} → ℝ, A ↦ det A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein

Aufgabe 3. Es sei K ein Körper, A ∈ K^{m×n} und \underline{0} ≠ b ∈ K^{m×1}, wobei \underline{0} der Nullvektor ist. Weiter seien L = \{x ∈ K^{n×1} | Ax = b\} und L_{0} = \{x ∈ K^{n×1} | Ax = \underline{0}\}. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (Teilraum heißt Untervektorraum)

L ist Teilraum von K^{n×1} der Dimension n − Rg A . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein L_{0} ist Teilraum von K^{n×1} der Dimension n − Rg A . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein L ≠ ∅ genau dann, wenn Rg A = m ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist v ∈ L, so ist L = {v + w | w ∈ L_{0}} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein |L| = 1 genau dann, wenn Rg A = m ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

|L_{0}| = 1 ⟹ |L| = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein

Ist m < n, so ist L ≠ ∅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein Ist m > n, so ist L = ∅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein

Aufgabe 4. Sei K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und v_{1}, …, v_{n} ∈ V. Dann ist (v_{1}, …, v_{n}) linear abhängig genau dann, wenn

es s_{1}, …, s_{n} ∈ K gibt mit ∑_{i=1}^{n} s_{i}v_{i} = \underline{0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein für alle s_{1}, …, s_{n} ∈ K gilt ∑_{i=1}^{n} s_{i}v_{i} = \underline{0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein aus ∑_{i=1}^{n} s_{i}v_{i} = \underline{0} mit s_{i} ∈ K folgt s_{1} = ⋯ = s_{n} = 0 . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein

für jedes i ∈ {1, …, n} gilt v_{i} ∈ ⟨v_{1}, …, v_{i−1}, v_{i+1}, …, v_{n}⟩ . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein

es i ∈ {1, …, n} gibt mit v_{i} ∈ ⟨v_{1}, …, v_{i−1}, v_{i+1}, …, v_{n}⟩ . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

es ein v ∈ V gibt mit v ∉ ⟨v_{1}, …, v_{n}⟩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

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Aufgabe 5. Es sei V ein 2-dimensionaler 𝔽_{2} -Vektorraum. Tragen Sie die richtigen Zahlen ein. Die Anzahl

der Vektoren von V ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

der 1-dimensionalen Teilräume von V ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

der Basisfolgen von V ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

der Basen (d.h. Basismengen) ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

der linearen Abbildungen φ : V → V ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

der injektiven linearen Abbildungen φ : V → V ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

der bijektiven linearen Abbildungen φ : V → V ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

der linearen Abbildungen (d.h. Linearformen) φ : V → 𝔽_{2} ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

der injektiven linearen Abbildungen φ : V → 𝔽_{2} ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0

der surjektiven linearen Abbildungen φ : V → 𝔽_{2} ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Aufgabe 6. Es seien V und W Vektorräume über ℚ mit dim V = 3, dim W = 2, φ : V → W ein Epimorphismus (d.h. surjektive, lineare Abbildung) und ψ : W → V ein Monomorphismus (d.h. injektive, lineare Abbildung). Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Für beliebige Basen B und B′ von V bzw. W ist _{B′}[φ]_{B} ∈ ℚ^{2×3} . . . . .□ Ja □ Nein Für beliebige Basen B und B′ von V bzw. W ist Rg(_{B}[ψ]_{B′}) = 2 … □ Ja □ Nein

Es gibt Basen B und B′ von V bzw. W mit _{B′}[φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] . . □ Ja □ Nein

Es gibt Basen B und B′ von V bzw. W mit _{B′}[φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] . . □ Ja □ Nein

Für jede Basis B von V ist _{B}[ψ ∘ φ]_{B} ∈ ℚ^{3×3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Für jede Basis B von V ist det (_{B}[ψ ∘ φ]_{B}) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 7. Es sei K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und φ ∈ End V. Weiter sei μ ∈ K[X] das Minimalpolynom und χ ∈ K[X] das charakteristische Polynom von φ. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

Es ist stets Grad μ < n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein Es ist stets Grad χ = n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist φ injektiv, so ist 0 kein Eigenwert von φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Genau dann ist t ∈ K Eigenwert von φ, wenn μ(t) = 0 ist . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist μ = χ, so ist φ diagonalisierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist φ^{2n} = 0, so ist φ^{n} = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein Ist μ = X − 1, so ist φ = id_{V} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist χ = (X − 1)^{n}, so ist φ = id_{V} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein

Aufgaben mit Begründung

Aufgabe 8.

(a) Gibt es eine ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2×2} → ℝ^{2×1} mit

Kern φ = \{[ \begin{matrix}x & x \\ y & y \end{matrix} ] |x, y ∈ ℝ\} und Bild φ = \{[ \begin{matrix}x \\ x \end{matrix} ] |x ∈ ℝ\}?

(2 Punkte)

(b) Gibt es eine ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2×2} → ℝ^{2×2} mit

Kern φ = \{[ \begin{matrix}x & x \\ y & y \end{matrix} ] |x, y ∈ ℝ\} und Bild φ = \{[ \begin{matrix}0 & x \\ y & 0 \end{matrix} ] |x, y ∈ ℝ\}?

(4 Punkte)

Geben Sie jeweils eine solche Abbildung explizit an oder beweisen Sie, dass es keine gibt.

Aufgabe 9. Es seien n ≥ 2 und a_{i,j}, b_{i,j} ∈ ℝ für 1 ≤ i ≤ n und 1 ≤ j ≤ n mit:

a_{i,j} = \{ \begin{matrix}1 & für i = j = 1 \\ 2 & für i = j > 1 \\ 1 & für i ≠ j \end{matrix} und b_{i,j} = \{ \begin{matrix}2 & für i = j \\ 1 & für i ≠ j \end{matrix} .

Man berechne

(a) det[a_{i,j}], (3 Punkte)

(b) det[b_{i,j}]. (3 Punkte)

Aufgabe 10. Es sei V = P_{2}(ℝ) der ℝ-Vektorraum der reellen Polynomfunktionen f : ℝ → ℝ vom Grad kleiner oder gleich 2 und φ : V → V sei definiert durch φ(f)(x) = f′(x) + f(x − 1) für x ∈ ℝ und f ∈ V. Dabei steht f′ für die Ableitung von f.

(a) Man zeige: φ ist linear. (1 Punkt)

(b) Man berechne A = _{B}[φ]_{B} für die Basisfolge B = (p_{0} +p_{1}, −p_{0} +p_{1}, p_{2}); dabei ist p_{i} ∈ V definiert durch p_{i}(x) = x^{i} und p_{0}(x) = 1 für x ∈ ℝ und i = 1, 2. (Es braucht nicht bewiesen zu werden, dass B eine Basis ist.) (2 Punkte)

(c) Man berechne die Eigenwerte von φ und gebe zu jedem Eigenwert eine Basis des zugehörigen Eigenraums an. (2 Punkte)

(d) Ist φ diagonalisierbar? (1 Punkt)

(e) Was ist die Jordansche Normalform von φ? (1 Punkt)

Aufgabe 11. Es sei Φ eine Bilinearform auf V = ℝ^{3×1} mit Gram-Matrix

[Φ]_{S} = [ \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] ,

wobei S die Standardbasis von V ist.

(a) Ist Φ nicht ausgeartet? Ist Φ positiv definit? (2 Punkte)

(b) Berechnen Sie eine Orthogonalbasis B von V bezüglich Φ und berechnen Sie [Φ]_{B}. (4 Punkte)