20.9.2000

Vordiplomklausur Lineare Algebra I/Diskrete Strukturen 20.9.2000

Ankreuzteil

Aufgabe 1. Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, v_{1}, …, v_{n} ∈ V und 1 ≤ i, j ≤ n. Sind folgende Aussagen richtig? Ist (v_{1}, …, v_{n}) linear unabhängig, so ist v_{i} ≠ v_{j} für i ≠ j . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist {v_{1}, …, v_{n}} linear unabhängig, so ist v_{i} ≠ v_{j} für i ≠ j . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein Ist (v_{1}, v_{2}) linear abhängig, so gibt es s ∈ K mit v_{2} = s · v_{1} . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Sind (v_{1}, v_{2}), (v_{2}, v_{3}) und (v_{1}, v_{3}) linear unabhängig, so ist

(v_{1}, v_{2}, v_{3}) linear unabhängig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein (v_{1}, v_{2}) ist linear unabhängig genau dann, wenn (v_{1} + v_{2}, v_{2})

linear unabhängig ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 2. Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten über dem Körper 𝔽_{2} – ist nicht eindeutig lösbar, wenn m > n ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

– kann genau 6 Lösungen haben, wenn m < n ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

– ist stets lösbar, wenn m < n ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

– hat immer eine nicht-triviale Lösung, wenn es homogen ist . . . . . . . □ Ja □ Nein

– kann genau 4 Lösungen haben, wenn m = n − 1 ist . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 3. Sei V = ℝ^{ℝ} und φ_{1} : V → V definiert durch φ_{1}(f)(x) = f(x + 1), φ_{2} : V → V durch φ_{2}(f)(x) = f(x) + 1 und φ_{3} : V → V durch φ_{3}(f)(x) = f(x^{2}) für f ∈ V und x ∈ ℝ. φ_{1} ist injektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein φ_{1} ist linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein φ_{2} ist linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein φ_{2} ist surjektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein φ_{3} ist linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein

Aufgabe 4. Es sei (e_{1}, e_{2}, e_{3}) die Standardbasis des ℝ^{3}. Es gibt eine lineare Abbildung φ : ℝ^{3} → ℝ^{3} mit φ(e_{1}) = φ(e_{2}) = φ(e_{1} + e_{2}) = e_{3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein φ(e_{1}) = φ(e_{3}) = φ(e_{1} + e_{2}) = e_{3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Kern(φ) = Bild(φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Kern(φ) ≥ Bild(φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein φ(e_{1} + e_{2}) = φ(e_{2} + e_{3}) = φ(e_{1} + e_{3}) = e_{3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 5. Es sei V = K^{2×2} mit einem beliebigen Körper K. Welche der folgenden Mengen sind Teilräume von V? {A ∈ V | Spur A = 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein {A ∈ V | Rg A = 1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

\{A ∈ V | A · [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ]\} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

{A ∈ V | A^{2} = 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein {A ∈ V | A = A^{T} } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Aufgabe 6. Für jeden Körper K, jedes n ∈ ℕ, alle A, B ∈ K^{n×n} und alle s ∈ K gilt: det(A + B) = det A + det B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein det(sA) = s det A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein det(AB) = det(BA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein det A = det B ⟹ det(A − B) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist A^{2} = E_{n}, so ist det A = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 7. Für A ∈ ℂ^{n×n} sei χ = χ_{A} = det(X · E_{n} − A) das charakteristische Polynom und μ = μ_{A} das Minimalpolynom von A. Dann gilt für jedes solche A: Ist f ∈ ℂ[X] mit f(A) = 0, so ist χ | f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist f ∈ ℂ[X] mit χ | f, so ist f(A) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist A^{n} = 0, so ist χ = X^{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist A^{n} = 0, so ist μ = X^{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist μ = X^{n} − 3, so ist χ = X^{n} − 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein

Aufgabe 8. Für alle Vektorräume V und alle φ ∈ End V gilt: Hat φ den Eigenwert 1, so ist φ invertierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein Hat φ den Eigenwert 0, so ist φ nicht invertierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Hat φ den Eigenwert 1, so hat φ^{2} = φ ∘ φ ebenfalls den Eigenwert 1 □ Ja □ Nein Hat φ^{2} den Eigenwert 0, so hat φ ebenfalls den Eigenwert 0 . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Ist φ^{2} = id_{V} und t Eigenwert von φ, so ist t ∈ {1, −1}. . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 9. Sei 2 < n ∈ ℕ und A = [a_{ij}] ∈ ℚ^{2n×2n} mit

a_{ij} = \{ \begin{matrix}0 & für i ≡ j (mod 2) (d.h. i − j ist gerade) \\ 1 & sonst \end{matrix} .

Dann gilt: Rg A = n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Rg A = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein det A = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein A ist diagonalisierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Das Minimalpolynom ist X^{3} − n^{2}X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein

Aufgabe 10. Es seien K ein Körper und A, B ∈ K^{n×n}. Ist A kongruent zu einer Diagonalmatrix, dann ist A symmetrisch . . □ Ja □ Nein Jede symmetrische Matrix ist kongruent zu einer Diagonalmatrix … □ Ja □ Nein Sind A und B kongruent, so sind sie ähnlich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Ja □ Nein Sind A und B kongruent, so haben sie die gleiche Determinante …. □ Ja □ Nein Sind A und B ähnlich, so haben sie die gleiche Spur . . . . . . . . . . . . . . . .□ Ja □ Nein

Aufgaben mit Begründung

Aufgabe 11. Bestimmen Sie alle t ∈ ℝ, für die das Gleichungssystem über ℝ

\begin{aligned}tx_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & = & 1 \\ 2x_{1} & + & tx_{2} & + & 3x_{3} & = & 0 \\ x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & = & 1 \end{aligned}

(a) lösbar ist,

(b) eindeutig lösbar ist.

(c) Zu jedem t gebe man die Dimension des Lösungsraums des zugehörigen homogenen Systems an. (6 Punkte)

Aufgabe 12. Es sei K ein Körper, V = K^{2×2},

\begin{matrix}φ : V & → & V \\ A & ↦ & A^{T} + A \end{matrix}

und B = (E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}). Hierbei ist E_{ij} die Matrix, die an der Stelle (i, j) eine Eins und sonst lauter Nullen hat, und A^{T} ist die transponierte Matrix zu A.

(a) Zeigen Sie, dass φ linear ist.

(b) Berechnen Sie _{B}[φ]_{B}.

(c) Geben Sie je eine Basis von Bild φ und von Kern φ an.

(d) Welche Bedingung muss K erfüllen, damit V = Bild φ + Kern φ ist? (6 Punkte)

Aufgabe 13. Bestimmen Sie die Determinante der Matrix A_{n} = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ ℚ^{n×n} für alle n ∈ ℕ, wobei

a_{ij} = \{ \begin{matrix}i + 1 & für i = j \\ j & für i ≠ j \end{matrix}

ist. Alle Umformungen sind zu erklären. (6 Punkte)

Aufgabe 14. Es sei V = 𝔽_{2}^{4×1} und

\begin{matrix}φ : V & → & V \\ v & ↦ & Av \end{matrix} mit A = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] ∈ 𝔽_{2}^{4×4}

(a) Berechnen Sie das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom von φ.

(b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von φ.

(c) Geben Sie zu jedem Eigenraum eine Basis an.

(d) Berechnen Sie die Jordansche Normalform von φ. (7 Punkte)