16.4.2004

Nachholklausur zur Linearen Algebra I, WS 03/04

Prof. Dr. H. Pahlings

Tragen Sie bitte auf diesem Deckblatt leserlich und in Blockbuchstaben Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein und unterschreiben Sie.

Name:

Vorname:

Matrikelnummer:

Eigenhändige Unterschrift:

Krz  Erg  9  10  11  12  Σ

Punkte

Nachk.

Zum Ankreuzteil:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung: Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Wenn Sie bei einer Frage unsicher sind, machen Sie einfach kein Kreuz. Sie brauchen Ihre Kreuze nicht zu begründen!

Zum Ergebnisteil:

In diesem Teil müssen Sie Ihre Aussagen nicht begründen. Es zählt nur das richtige Ergebnis.

Zu den Aufgaben mit Begründungen:

In diesem Teil müssen Sie alle Aussagen begründen. Natürlich brauchen Sie Aussagen aus der Vorlesung nicht noch einmal zu beweisen.

Nachholklausur, 16.4.2004 Gruppe A

Lineare Algebra I, WS 2003/04, Prof. Dr. H. Pahlings

Name: Matrikelnummer:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben: Ein richtiges Kreuz ergibt +1 Punkt, ein falsches Kreuz ergibt −1 Punkt, keine Angabe zählt 0 Punkte. In jeder Aufgabe bekommen Sie mindestens 0 Punkte.

1 Es seien K ein Körper und V und W K-Vektorräume mit dim_{K} V = 2 und dim_{K} W = 3 und φ : V → W eine injektive lineare Abbildung. Dann gibt es Basisfolgen B und B′ von V bzw. W mit …

M_{B′}^{B}(φ) = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] .  □ Ja □ Nein

M_{B′}^{B}(φ) = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] .  □ Ja □ Nein

M_{B′}^{B}(φ) = [ \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{matrix} ] .  □ Ja □ Nein

2 Es sei K ein Körper.

Gibt es einen K-Algebrenhomomorphismus φ : K[X] → K^{n×n} mit

□ Ja □ Nein

φ(X^{2}) = E_{n}?

Gibt es zu jedem A ∈ K^{n×n} ein Polynom f ∈ K[X] vom Grad kleiner n mit f(A) = 0?

□ Ja □ Nein

Ist K = ℤ_{3}, so ist K[X] ein 3-dimensionaler K-Vektorraum.

□ Ja □ Nein

3 Es seien n ∈ ℕ mit n > 1 und A, B ∈ ℝ^{n×n}. Mit μ_{A} (bzw. μ_{B}) sei das Minimalpolynom von A (bzw. von B) und mit χ_{A} (bzw. χ_{B}) sei das charakteristische Polynom von A (bzw. B) bezeichnet. Ist χ_{A} = χ_{B} und ein Produkt von n paarweise verschiedenen Linearfaktoren, dann sind A und B ähnlich.

□ Ja □ Nein

Ist A symmetrisch, dann ist μ_{A} ein Produkt von paarweise verschiedenen Linearfaktoren.

□ Ja □ Nein

Ist μ_{A} = μ_{B}, dann sind A und B ähnlich.

□ Ja □ Nein

4 Kreuzen Sie jeweils “Ja” an, wenn die Aussage stimmt, oder “Nein”, wenn sie nicht stimmt! Die Abbildung f : ℝ → ℝ, x ↦ x^{2} ist injektiv.

□ Ja □ Nein

Die Abbildung f : ℤ × ℤ → ℤ, (x, y) ↦ x + y ist surjektiv.

□ Ja □ Nein

Die Abbildung f : ℚ × ℚ → ℚ × ℚ, (x, y) ↦ (x + y, x − y) ist surjektiv.

□ Ja □ Nein

Die Abbildung f : ℤ → ℤ × ℤ, x ↦ (x, −x) ist surjektiv.

□ Ja □ Nein

5 Sind die folgenden Abbildungen K-linear, wobei K jeweils der angegebene Körper ist?

K = ℝ, f : K^{2×2} → K^{2×2}, T ↦ T · A für A = [ \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×2}  □ Ja □ Nein
K = ℚ, g : K^{1×2} → K^{1×2}, [x, y] ↦ [y, x]  □ Ja □ Nein

K = ℤ_{2} (Körper mit 2 Elementen), h : ℤ_{2} → ℤ_{2}, x ↦ x^{2}

□ Ja □ Nein

Bearbeiten Sie die folgende Rechenaufgabe und schreiben Sie die Ergebnisse in die dafür vorgesehenen Kästchen. Sie brauchen Ihre Ergebnisse nicht zu begründen, für Begründungen und Ansätze gibt es aber auch keine Punkte. Für die richtige Antwort bekommen Sie die angegebene Punktzahl. Für eine falsche Antwort gibt es Null Punkte.

6 Es sei K ein endlicher Körper mit q Elementen, in dem 1 + 1 ≠ 0 ist. Das Gleichungssystem

\begin{aligned}x_{1} & + & cx_{2} & + & x_{3} & = & 0 \\ x_{1} & + & (c − 1)x_{2} & + & (c + 1)x_{3} & = & 1 \\ x_{1} & + & 2cx_{2} & + & (1 − c)x_{3} & = & c \end{aligned}

hat für  c ∈  ⊆ K keine Lösung,  (1 Punkt)
für  c ∈  ⊆ K genau eine Lösung und  (1 Punkt)
für  c ∈  ⊆ K mehr als eine Lösung  (1 Punkt)
und die Anzahl der Lösungen ist dann  .  (1 Punkt)

7 Berechnen Sie die Inverse der folgenden Matrix:

A := [ \begin{matrix}−1 & 0 & 5 \\ −2 & −1 & 8 \\ −1 & 0 & 4 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3}.

dann ist  A^{−1} =  (3 Punkte)

8 Es sei

A = [ \begin{matrix}4 & 0 & 0 \\ 54 & 4 & 18 \\ −27 & 0 & −5 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3}.

Dann ist das Minimalpolynom  μ_{A} =  (3 Punkte)

Die Eigenwerte von A sind: (1 Punkt)

Geben Sie P ∈ GL_{3}(ℚ) an so, dass P^{−1}AP eine Diagonalmatrix ist: P =

(3 Punkte)

Beantworten Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an.

9 Es seien φ und ψ zwei Endomorphismen eines K-Vektorraums V mit φ ∘ ψ = ψ ∘ φ. Zeigen

Sie: Jeder Eigenraum von ψ ist φ-invariant. (5 Punkte) 10 Es seien K ein Körper, V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und φ ∈ End(V) mit

φ^{2} = φ. Zeigen Sie:

(a) φ ist diagonalisierbar. (3 Punkte)

(b) Ist t ein Eigenwert von φ, dann ist t ∈ {0, 1}. (2 Punkte)

11 Es sei A = [a_{i,j}] ∈ ℤ^{n×n} mit a_{i,j} = \{ \begin{matrix}j & falls j − i + 2 durch n teilbar ist \\ 0 & sonst \end{matrix} .

Berechnen Sie det A. Begründen Sie Ihr Ergebnis. (5 Punkte) 12 Es seien K = ℤ_{3} der Körper mit 3 Elementen und V ein 4-dimensionaler K-Vektorraum. Wie

viele linear abhängige Tupel (v_{1}, v_{2}) ∈ V × V gibt es? Begründen Sie Ihr Ergebnis. (5 Punkte)

Nachholklausur, 16.4.2004 Gruppe B

Lineare Algebra I, WS 2003/04, Prof. Dr. H. Pahlings

Name: Matrikelnummer:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben: Ein richtiges Kreuz ergibt +1 Punkt, ein falsches Kreuz ergibt −1 Punkt, keine Angabe zählt 0 Punkte. In jeder Aufgabe bekommen Sie mindestens 0 Punkte.

1 Kreuzen Sie jeweils “Ja” an, wenn die Aussage stimmt, oder “Nein”, wenn sie nicht stimmt! Die Abbildung f : ℤ → ℤ × ℤ, x ↦ (x, −x) ist surjektiv.

□ Ja □ Nein

Die Abbildung f : ℤ × ℤ → ℤ, (x, y) ↦ x + y ist surjektiv.

□ Ja □ Nein

Die Abbildung f : ℝ → ℝ, x ↦ x^{2} ist injektiv.

□ Ja □ Nein

Die Abbildung f : ℚ × ℚ → ℚ × ℚ, (x, y) ↦ (x + y, x − y) ist surjektiv.

□ Ja □ Nein

2 Es seien n ∈ ℕ mit n > 1 und A, B ∈ ℝ^{n×n}. Mit μ_{A} (bzw. μ_{B}) sei das Minimalpolynom von A (bzw. von B) und mit χ_{A} (bzw. χ_{B}) sei das charakteristische Polynom von A (bzw. B) bezeichnet. Ist χ_{A} = χ_{B} und ein Produkt von n paarweise verschiedenen Linearfaktoren, dann sind A und B ähnlich.

□ Ja □ Nein

Ist μ_{A} = μ_{B}, dann sind A und B ähnlich.

□ Ja □ Nein

Ist A symmetrisch, dann ist μ_{A} ein Produkt von paarweise verschiedenen Linearfaktoren.

□ Ja □ Nein

3 Es seien K ein Körper und V und W K-Vektorräume mit dim_{K} V = 2 und dim_{K} W = 3 und φ : V → W eine injektive lineare Abbildung. Dann gibt es Basisfolgen B und B′ von V bzw. W mit …

M_{B′}^{B}(φ) = [ \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{matrix} ] .  □ Ja □ Nein

M_{B′}^{B}(φ) = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] .  □ Ja □ Nein

M_{B′}^{B}(φ) = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] .  □ Ja □ Nein

4 Sind die folgenden Abbildungen K-linear, wobei K jeweils der angegebene Körper ist?

K = ℚ, g : K^{1×2} → K^{1×2}, [x, y] ↦ [y, x]  □ Ja □ Nein
K = ℝ, f : K^{2×2} → K^{2×2}, T ↦ T · A für A = [ \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×2}  □ Ja □ Nein

K = ℤ_{2} (Körper mit 2 Elementen), h : ℤ_{2} → ℤ_{2}, x ↦ x^{2}

□ Ja □ Nein

5 Es sei K ein Körper.

Ist K = ℤ_{3}, so ist K[X] ein 3-dimensionaler K-Vektorraum.

□ Ja □ Nein

Gibt es einen K-Algebrenhomomorphismus φ : K[X] → K^{n×n} mit

□ Ja □ Nein

φ(X^{2}) = E_{n}?

Gibt es zu jedem A ∈ K^{n×n} ein Polynom f ∈ K[X] vom Grad kleiner n mit f(A) = 0?

□ Ja □ Nein

Bearbeiten Sie die folgende Rechenaufgabe und schreiben Sie die Ergebnisse in die dafür vorgesehenen Kästchen. Sie brauchen Ihre Ergebnisse nicht zu begründen, für Begründungen und Ansätze gibt es aber auch keine Punkte. Für die richtige Antwort bekommen Sie die angegebene Punktzahl. Für eine falsche Antwort gibt es Null Punkte.

6 Es sei

A = [ \begin{matrix}4 & 0 & 0 \\ 54 & 4 & 18 \\ −27 & 0 & −5 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3}.

Dann ist das Minimalpolynom  μ_{A} =  (3 Punkte)

Die Eigenwerte von A sind: (1 Punkt)

Geben Sie P ∈ GL_{3}(ℚ) an so, dass P^{−1}AP eine Diagonalmatrix ist: P =

(3 Punkte)

7 Es sei K ein endlicher Körper mit q Elementen, in dem 1 + 1 ≠ 0 ist. Das Gleichungssystem

\begin{aligned}x_{1} & + & cx_{2} & + & x_{3} & = & 0 \\ x_{1} & + & (c − 1)x_{2} & + & (c + 1)x_{3} & = & 1 \\ x_{1} & + & 2cx_{2} & + & (1 − c)x_{3} & = & c \end{aligned}

hat für  c ∈  ⊆ K keine Lösung,  (1 Punkt)
für  c ∈  ⊆ K genau eine Lösung und  (1 Punkt)
für  c ∈  ⊆ K mehr als eine Lösung  (1 Punkt)
und die Anzahl der Lösungen ist dann  .  (1 Punkt)

8 Berechnen Sie die Inverse der folgenden Matrix:

A := [ \begin{matrix}−1 & 0 & 5 \\ −2 & −1 & 8 \\ −1 & 0 & 4 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3}.

dann ist  A^{−1} =  (3 Punkte)

Beantworten Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an.

9 Es seien φ und ψ zwei Endomorphismen eines K-Vektorraums V mit φ ∘ ψ = ψ ∘ φ. Zeigen

Sie: Jeder Eigenraum von ψ ist φ-invariant. (5 Punkte) 10 Es seien K ein Körper, V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und φ ∈ End(V) mit

φ^{2} = φ. Zeigen Sie:

(a) φ ist diagonalisierbar. (3 Punkte)

(b) Ist t ein Eigenwert von φ, dann ist t ∈ {0, 1}. (2 Punkte)

11 Es sei A = [a_{i,j}] ∈ ℤ^{n×n} mit a_{i,j} = \{ \begin{matrix}j & falls j − i + 2 durch n teilbar ist \\ 0 & sonst \end{matrix} .

Berechnen Sie det A. Begründen Sie Ihr Ergebnis. (5 Punkte) 12 Es seien K = ℤ_{3} der Körper mit 3 Elementen und V ein 4-dimensionaler K-Vektorraum. Wie

viele linear abhängige Tupel (v_{1}, v_{2}) ∈ V × V gibt es? Begründen Sie Ihr Ergebnis. (5 Punkte)