12.12.2003

Scheinklausur zur Linearen Algebra I, WS 03/04, 1. Teil

Prof. Dr. H. Pahlings

Tragen Sie bitte auf diesem Deckblatt leserlich und in Blockbuchstaben Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein und unterschreiben Sie.

Name:

Vorname:

Matrikelnummer:

Eigenhändige Unterschrift:

Krz  Erg  8  9  10  11  Σ

Punkte

Nachk.

Zum Ankreuzteil:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung: Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Wenn Sie bei einer Frage unsicher sind, machen Sie einfach kein Kreuz. Sie brauchen Ihre Kreuze nicht zu begründen!

Zum Ergebnisteil:

In diesem Teil müssen Sie Ihre Aussagen nicht begründen. Es zählt nur das richtige Ergebnis.

Zu den Aufgaben mit Begründungen:

In diesem Teil müssen Sie alle Aussagen begründen. Natürlich brauchen Sie Aussagen aus der Vorlesung nicht noch einmal zu beweisen.

Gruppe A

Scheinklausur 1. Teil, 12.12.2003

Lineare Algebra I, WS 2003/04, Prof. Dr. H. Pahlings

Name: Matrikelnummer:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben: Ein richtiges Kreuz ergibt +1 Punkt, ein falsches Kreuz ergibt −1 Punkt, keine Angabe zählt 0 Punkte. In jeder Aufgabe bekommen Sie mindestens 0 Punkte.

1 Sind die folgenden Mengen Äquivalenzrelationen auf ℤ?

{(a, b) ∈ ℤ × ℤ | 5 teilt a − b}  □ Ja □ Nein
{(a, b) ∈ ℤ × ℤ | 5 teilt a + b}  □ Ja □ Nein
{(a, b) ∈ ℤ × ℤ | a^{3} = b^{3}}  □ Ja □ Nein

2 Sind die folgenden Aussagen wahr?

Die Abbildung ℤ × ℤ → ℤ, (x, y) ↦ x^{2} + y ist surjektiv.

□ Ja □ Nein

Die Abbildung ℤ × ℤ → ℤ × ℤ, (x, y) ↦ (x^{2} + y, x) ist injektiv.

□ Ja □ Nein

Die Abbildung ℤ_{3} → ℤ_{3}, x ↦ x^{2} ist injektiv.

□ Ja □ Nein

3 Sind die folgenden Mengen Teilräume in den jeweils angegebenen ℚ-Vektorräumen?

{f ∈ ℚ^{ℚ} | es gibt c ∈ ℚ mit |f(x)| ≤ c für alle x ∈ ℚ} ⊆ ℚ^{ℚ} □ Ja □ Nein

{(a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℚ^{n} | a_{n} = a_{1} + ⋯ + a_{n−1}} ⊆ ℚ^{n}  □ Ja □ Nein
\{[ \begin{matrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{matrix} ] ∈ ℚ^{2×2} | a_{1,1}a_{2,2} = a_{1,2}a_{2,1}\} ⊆ ℚ^{2×2}  □ Ja □ Nein

4 Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem Ax = b mit m Gleichungen in n Unbekannten … … hat keine Lösung, wenn m > n ist.

□ Ja □ Nein

… ist nicht eindeutig lösbar, falls m < n ist.

□ Ja □ Nein

… ist lösbar, wenn m < n ist.

□ Ja □ Nein

… ist eindeutig lösbar, wenn Rg A = n ist.

□ Ja □ Nein

5 Wir betrachten v_{1} = (1, 1, 0), v_{2} = (0, 1, 1), v_{3} = (1, 0, 1) und v_{4} = (1, 2, 3) in ℝ^{3}.

Ist v_{4} ∈ ⟨v_{1}, v_{2}⟩?  □ Ja □ Nein
Ist ⟨v_{1}, v_{2}⟩ = ⟨v_{3}, v_{4}⟩?  □ Ja □ Nein

Ist {v_{1}, v_{2}, v_{3}} eine Basis von ℝ^{3}?

□ Ja □ Nein

6 Welche der folgenden Abbildungen sind linear?

φ : ℝ^{2} → ℝ, (x, y) ↦ x · y  □ Ja □ Nein
φ : ℝ^{2×2} → ℝ, [ \begin{matrix}x_{1,1} & x_{1,2} \\ x_{2,1} & x_{2,2} \end{matrix} ] ↦ x_{1,2} + x_{2,1}  □ Ja □ Nein

φ : ℝ^{ℝ} → ℝ^{ℝ} mit φ(f)(x) = f(x + 1) für f ∈ ℝ^{ℝ} und x ∈ ℝ.

□ Ja □ Nein

φ : ℤ_{2} → ℤ_{2}, x ↦ x^{2} (hier ist natürlich ℤ_{2}-linear gemeint)

□ Ja □ Nein

Name: Matrikelnummer:

Scheinklausur 1. Teil, 12.12.2003, Rechenteil, Gruppe A

Bearbeiten Sie die folgende Rechenaufgabe und schreiben Sie die Ergebnisse in die dafür vorgesehenen Kästchen. Sie brauchen Ihre Ergebnisse nicht zu begründen, für Begründungen und Ansätze gibt es aber auch keine Punkte. Für die richtige Antwort bekommen Sie die angegebene Punktzahl. Für eine falsche Antwort gibt es Null Punkte. 7 Bestimmen Sie die Menge aller (x_{1}, …, x_{5}) ∈ ℤ_{2}^{5} mit

x_{3} + x_{4}  = 1
x_{1} + x_{2} + x_{3}  + x_{5} = 1
x_{1}  + x_{3} + x_{4} + x_{5} = 0
x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}  = 1

Nur Ergebnis eintragen:

(3 Punkte)

Scheinklausur 1. Teil, 12.12.2003, Gruppe A

Beantworten Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an. 8 Es sei A = [a_{i,j}]_{1≤i,j≤n} ∈ ℚ^{n×n} die Matrix mit den Einträgen

a_{i,j} = \{ \begin{matrix}2 & für i = j + 1 \\ 0 & sonst \end{matrix} .

Berechnen Sie (mit Beweis!) A^{k} für k = 1, 2, …, n. (4 Punkte) 9 Es seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum und v, w ∈ V Vektoren. Weiter sei φ : V → K

eine K-lineare Abbildung mit φ(v) = φ(w) = 1.

Man zeige: {v, w} ist linear unabhängig. (4 Punkte) 10 Es sei ℤ_{2} = {0, 1} der Körper mit 2 Elementen.

Bestimmen Sie alle v ∈ ℤ_{2}^{3} mit der Eigenschaft, dass {v_{1}, v_{2}, v} Basis von ℤ_{2}^{3} ist, wobei v_{1} = (1, 1, 0) und v_{2} = (0, 1, 0) ist. Begründen Sie Ihr Ergebnis. (4 Punkte)

11 Es sei die Abbildung φ : ℝ^{2×2} → ℝ^{2×2}, X ↦ AX −XA gegeben mit A = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×2}.

Zeigen Sie, dass φ linear ist und geben Sie eine Basis von Kern φ und Bild φ an (natürlich auch mit Beweis). (5 Punkte)

Gruppe B

Scheinklausur 1. Teil, 12.12.2003

Lineare Algebra I, WS 2003/04, Prof. Dr. H. Pahlings

Name: Matrikelnummer:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben: Ein richtiges Kreuz ergibt +1 Punkt, ein falsches Kreuz ergibt −1 Punkt, keine Angabe zählt 0 Punkte. In jeder Aufgabe bekommen Sie mindestens 0 Punkte.

1 Sind die folgenden Mengen Äquivalenzrelationen auf ℤ?

{(a, b) ∈ ℤ × ℤ | a^{5} = b^{5}}  □ Ja □ Nein
{(a, b) ∈ ℤ × ℤ | 7 teilt a − b}  □ Ja □ Nein
{(a, b) ∈ ℤ × ℤ | 7 teilt a + b}  □ Ja □ Nein

2 Sind die folgenden Aussagen wahr?

Die Abbildung ℤ × ℤ → ℤ, (x, y) ↦ x^{3} − y ist surjektiv.

□ Ja □ Nein

Die Abbildung ℤ_{3} → ℤ_{3}, x ↦ x^{2} ist surjektiv.

□ Ja □ Nein

Die Abbildung ℤ × ℤ → ℤ × ℤ, (x, y) ↦ (x^{2} + y, x^{2}) ist injektiv.

□ Ja □ Nein

3 Sind die folgenden Mengen Teilräume in den jeweils angegebenen ℚ-Vektorräumen?

\{[ \begin{matrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{matrix} ] ∈ ℚ^{2×2} | a_{1,1}a_{2,2} = a_{1,2}a_{2,1}\} ⊆ ℚ^{2×2}  □ Ja □ Nein
{(a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℚ^{n} | a_{n} = a_{1} + ⋯ + a_{n−1} + 1} ⊆ ℚ^{n}  □ Ja □ Nein

{f ∈ ℚ^{ℚ} | es gibt c ∈ ℚ mit |f(x)| ≤ c für alle x ∈ ℚ} ⊆ ℚ^{ℚ} □ Ja □ Nein

4 Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem Ax = b mit m Gleichungen in n Unbekannten … … ist eindeutig lösbar, wenn Rg A = m ist.

□ Ja □ Nein

… hat eine Lösung, wenn m ≤ n ist.

□ Ja □ Nein

… ist eindeutig lösbar, falls m = n ist und Rg A = n ist.

□ Ja □ Nein

… ist unlösbar, wenn m > n ist.

□ Ja □ Nein

5 Wir betrachten v_{1} = (1, 1, 0), v_{2} = (0, 1, 1), v_{3} = (1, 0, −1) und v_{4} = (1, 2, 4) in ℝ^{3}.

Ist v_{4} ∈ ⟨v_{2}, v_{1}⟩?  □ Ja □ Nein
Ist ⟨v_{2}, v_{1}⟩ = ⟨v_{4}, v_{3}⟩?  □ Ja □ Nein

Ist {v_{1}, v_{2}, v_{3}} eine Basis von ℝ^{3}?

□ Ja □ Nein

6 Welche der folgenden Abbildungen sind linear?

φ : ℝ^{2×2} → ℝ, [ \begin{matrix}x_{1,1} & x_{1,2} \\ x_{2,1} & x_{2,2} \end{matrix} ] ↦ x_{1,2} − x_{2,1}  □ Ja □ Nein

φ : ℝ^{ℝ} → ℝ^{ℝ} mit φ(f)(x) = f(2 · x + 1) für f ∈ ℝ^{ℝ} und x ∈ ℝ.

□ Ja □ Nein
φ : ℝ^{2} → ℝ, (x, y) ↦ x · (y + 1) □ Ja □ Nein

φ : ℤ_{2} → ℤ_{2}, x ↦ x^{2} (hier ist natürlich ℤ_{2}-linear gemeint)

□ Ja □ Nein

Name: Matrikelnummer:

Scheinklausur 1. Teil, 12.12.2003, Rechenteil, Gruppe B

Bearbeiten Sie die folgende Rechenaufgabe und schreiben Sie die Ergebnisse in die dafür vorgesehenen Kästchen. Sie brauchen Ihre Ergebnisse nicht zu begründen, für Begründungen und Ansätze gibt es aber auch keine Punkte. Für die richtige Antwort bekommen Sie die angegebene Punktzahl. Für eine falsche Antwort gibt es Null Punkte. 7 Bestimmen Sie die Menge aller (x_{1}, …, x_{5}) ∈ ℤ_{2}^{5} mit

x_{2} + x_{3}  = 1
x_{1}  + x_{3} + x_{4} + x_{5} = 0
x_{1} + x_{2} + x_{3}  + x_{5} = 0
x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}  = 1

Nur Ergebnis eintragen:

(3 Punkte)

Scheinklausur 1. Teil, 12.12.2003, Gruppe B

Beantworten Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an. 8 Es sei A = [a_{i,j}]_{1≤i,j≤n} ∈ ℚ^{n×n} die Matrix mit den Einträgen

a_{i,j} = \{ \begin{matrix}2 & für i = j + 1 \\ 0 & sonst \end{matrix} .

Berechnen Sie (mit Beweis!) A^{k} für k = 1, 2, …, n. (4 Punkte) 9 Es seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum und v, w ∈ V Vektoren. Weiter sei φ : V → K

eine K-lineare Abbildung mit φ(v) = φ(w) = 1.

Man zeige: {v, w} ist linear unabhängig. (4 Punkte) 10 Es sei ℤ_{2} = {0, 1} der Körper mit 2 Elementen.

Bestimmen Sie alle v ∈ ℤ_{2}^{3} mit der Eigenschaft, dass {v_{1}, v_{2}, v} Basis von ℤ_{2}^{3} ist, wobei v_{1} = (1, 1, 0) und v_{2} = (0, 1, 0) ist. Begründen Sie Ihr Ergebnis. (4 Punkte)

11 Es sei die Abbildung φ : ℝ^{2×2} → ℝ^{2×2}, X ↦ AX −XA gegeben mit A = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×2}.

Zeigen Sie, dass φ linear ist und geben Sie eine Basis von Kern φ und Bild φ an (natürlich auch mit Beweis). (5 Punkte)