10.2.2004

Scheinklausur zur Linearen Algebra I, WS 03/04, 2. Teil

Prof. Dr. H. Pahlings

Tragen Sie bitte auf diesem Deckblatt leserlich und in Blockbuchstaben Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein und unterschreiben Sie.

Name:

Vorname:

Matrikelnummer:

Eigenhändige Unterschrift:

Krz  Erg  9  10  11  12  Σ

Punkte

Nachk.

Zum Ankreuzteil:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung: Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Wenn Sie bei einer Frage unsicher sind, machen Sie einfach kein Kreuz. Sie brauchen Ihre Kreuze nicht zu begründen!

Zum Ergebnisteil:

In diesem Teil müssen Sie Ihre Aussagen nicht begründen. Es zählt nur das richtige Ergebnis.

Zu den Aufgaben mit Begründungen:

In diesem Teil müssen Sie alle Aussagen begründen. Natürlich brauchen Sie Aussagen aus der Vorlesung nicht noch einmal zu beweisen.

Scheinklausur 2. Teil, 10.2.2004 Gruppe A

Lineare Algebra I, WS 2003/04, Prof. Dr. H. Pahlings

Name: Matrikelnummer:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben: Ein richtiges Kreuz ergibt +1 Punkt, ein falsches Kreuz ergibt −1 Punkt, keine Angabe zählt 0 Punkte. In jeder Aufgabe bekommen Sie mindestens 0 Punkte.

1 Es sei K ein Körper und V und W K-Vektorräume mit dim_{K} V = 3 und dim_{K} W = 2 und φ : V → W eine surjektive lineare Abbildung. Dann gibt es Basisfolgen B und B′ von V bzw. W mit …

M_{B′}^{B}(φ) = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] .  □ Ja □ Nein

M_{B′}^{B}(φ) = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] .  □ Ja □ Nein
M_{B′}^{B}(φ) = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] .  □ Ja □ Nein

2 Es sei K ein Körper.

Gibt es zu jedem A ∈ K^{n×n} ein Polynom f ∈ K[X] vom Grad n mit f(A) = E_{n}?

□ Ja □ Nein

Ist K = ℤ_{2}, so ist K[X] ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum.

□ Ja □ Nein

Gibt es einen K-Algebrenhomomorphismus φ : K[X] → K^{n×n} mit

□ Ja □ Nein

φ(X + 1) = E_{n}?

3 Es sei V ein n-dimensionaler ℂ-Vektorraum (1 ≤ n ∈ ℕ) und φ ∈ End V. Mit χ_{φ} ist das charakteristische Polynom und mit μ_{φ} das Minimalpolynom von φ gemeint. Gelten die folgenden Aussagen? Aus φ^{2n} = 0 folgt φ^{n} = 0.

□ Ja □ Nein

Ist φ^{n} = 0, so ist χ_{φ} = X^{n}.

□ Ja □ Nein

Ist φ^{n} = 0, so ist μ_{φ} = X^{n}.

□ Ja □ Nein

Ist φ^{m} = 0 für ein m, so hat φ genau einen Eigenwert.

□ Ja □ Nein

4 Es sei A = [a_{i,j}] ∈ ℚ^{n×n} mit n ≥ 2. Sind die folgenden Aussagen richtig?

Ist a_{i,j} = 7 für alle 1 ≤ i, j ≤ n, so ist A diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

Ist a_{i,j} = i für 1 ≤ i ≤ j ≤ n und a_{i,j} = 0 für 1 ≤ j < i ≤ n, so ist A diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

Ist a_{i,j} = j − i für 1 ≤ i ≤ j ≤ n und a_{i,j} = 0 für 1 ≤ j < i ≤ n, so ist A diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

5 Es sei K ein Körper und V ein n-dimensionaler K-Vektorraum für ein 1 ≤ n ∈ ℕ. Ist Φ : V × V → K eine symmetrische Bilinearform und sind B und B′ Basisfolgen von V, so … … sind M_{B}(Φ) und M_{B′}(Φ) ähnlich.

□ Ja □ Nein

… ist Rg(M_{B}(Φ)) = Rg(M_{B′}(Φ)).

□ Ja □ Nein

… ist det M_{B}(Φ) = det M_{B′}(Φ).

□ Ja □ Nein

Name: Matrikelnummer:

Scheinklausur 2. Teil, 10.2.2004, Rechenteil, Gruppe A

Bearbeiten Sie die folgende Rechenaufgabe und schreiben Sie die Ergebnisse in die dafür vorgesehenen Kästchen. Sie brauchen Ihre Ergebnisse nicht zu begründen, für Begründungen und Ansätze gibt es aber auch keine Punkte. Für die richtige Antwort bekommen Sie die angegebene Punktzahl. Für eine falsche Antwort gibt es Null Punkte. 6 Es sei V = ⟨sin^{2}, cos^{2}, sin · cos⟩ ≤ ℝ^{ℝ} und B = (sin^{2}, cos^{2}, sin · cos), ferner sei φ ∈ End V

gegeben durch φ(f) : x ↦ f′(x) + f′′(x) für f ∈ V.

Dann ist  M_{B}^{B}(φ) =  (6 Punkte)

7 Es sei K ein Körper. Ist

A = [ \begin{matrix}0 & 0 & −1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & −1 \end{matrix} ] ∈ K^{3×3}, f = X^{6} + X^{5} − X^{4} + X^{3} + X + 1 ∈ K[X],

dann ist  f(A) =  (6 Punkte)

8 Es sei

A = [ \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3}.

Dann ist das Minimalpolynom  μ_{A} =  (3 Punkte)
Die Eigenwerte von A sind:  Eigenwerte:  (2 Punkte)

Geben Sie P ∈ GL_{3}(ℚ) an so, dass P^{−1}AP eine Diagonalmatrix ist: P =

(3 Punkte)

Beantworten Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an. 9 Berechnen Sie die Inverse von

A = [ \begin{matrix}1 & −2 & −6 \\ −1 & −2 & 1 \\ 1 & 1 & −2 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3}

mittels elementarer Zeilenoperationen. Dokumentieren Sie genau die Umformungen und geben Sie A^{−1} explizit an. (6 Punkte)

10 Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, φ ∈ GL(V), ψ ∈ End(V) und v ein Eigenvektor von ψ ∘ φ. Bestimmen Sie einen Eigenvektor von φ ∘ ψ. (6 Punkte)

11 Es sei A = [a_{i,j}] ∈ ℤ^{n×n} mit a_{i,j} = \{ \begin{matrix}2 & für i = j \\ 1 & für i ≠ j \end{matrix} .

Berechnen Sie det A. Begründen Sie Ihre Umformungen bzw. Berechnungen. (6 Punkte) 12 Es sei K ein Körper und A ∈ K^{n×n} invertierbar. Beweisen Sie, dass es ein Polynom f ∈ K[X]

mit Grad f < n gibt mit A^{−1} = f(A). Hinweis: Betrachten Sie das Minimalpolynom. (6 Punkte)

Scheinklausur 2. Teil, 10.2.2004 Gruppe B

Lineare Algebra I, WS 2003/04, Prof. Dr. H. Pahlings

Name: Matrikelnummer:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben: Ein richtiges Kreuz ergibt +1 Punkt, ein falsches Kreuz ergibt −1 Punkt, keine Angabe zählt 0 Punkte. In jeder Aufgabe bekommen Sie mindestens 0 Punkte.

1 Es sei K ein Körper.

Gibt es zu jedem A ∈ K^{n×n} ein Polynom f ∈ K[X] vom Grad n mit f(A) = E_{n}?

□ Ja □ Nein

Gibt es einen K-Algebrenhomomorphismus φ : K[X] → K^{n×n} mit

□ Ja □ Nein

φ(X + 1) = E_{n}?

Ist K = ℤ_{2}, so ist K[X] ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum.

□ Ja □ Nein

2 Es sei A = [a_{i,j}] ∈ ℚ^{n×n} mit n ≥ 2. Sind die folgenden Aussagen richtig?

Ist a_{i,j} = 7 für alle 1 ≤ i, j ≤ n, so ist A diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

Ist a_{i,j} = i für 1 ≤ i ≤ j ≤ n und a_{i,j} = 0 für 1 ≤ j < i ≤ n, so ist A diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

Ist a_{i,j} = j − i für 1 ≤ i ≤ j ≤ n und a_{i,j} = 0 für 1 ≤ j < i ≤ n, so ist A diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

3 Es sei K ein Körper und V ein n-dimensionaler K-Vektorraum für ein 1 ≤ n ∈ ℕ. Ist Φ : V × V → K eine symmetrische Bilinearform und sind B und B′ Basisfolgen von V, so … … sind M_{B}(Φ) und M_{B′}(Φ) ähnlich.

□ Ja □ Nein

… ist det M_{B}(Φ) = det M_{B′}(Φ).

□ Ja □ Nein

… ist Rg(M_{B}(Φ)) = Rg(M_{B′}(Φ)).

□ Ja □ Nein

4 Es sei K ein Körper und V und W K-Vektorräume mit dim_{K} V = 3 und dim_{K} W = 2 und φ : V → W eine surjektive lineare Abbildung. Dann gibt es Basisfolgen B und B′ von V bzw. W mit …

M_{B′}^{B}(φ) = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] .  □ Ja □ Nein

M_{B′}^{B}(φ) = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] .  □ Ja □ Nein
M_{B′}^{B}(φ) = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] .  □ Ja □ Nein

5 Es sei V ein n-dimensionaler ℂ-Vektorraum (1 ≤ n ∈ ℕ) und φ ∈ End V. Mit χ_{φ} ist das charakteristische Polynom und mit μ_{φ} das Minimalpolynom von φ gemeint. Gelten die folgenden Aussagen? Aus φ^{2n} = 0 folgt φ^{n} = 0.

□ Ja □ Nein

Ist φ^{n} = 0, so ist μ_{φ} = X^{n}.

□ Ja □ Nein

Ist φ^{n} = 0, so ist χ_{φ} = X^{n}.

□ Ja □ Nein

Ist φ^{m} = 0 für ein m, so hat φ genau einen Eigenwert.

□ Ja □ Nein

Name: Matrikelnummer:

Scheinklausur 2. Teil, 10.2.2004, Rechenteil, Gruppe B

Bearbeiten Sie die folgende Rechenaufgabe und schreiben Sie die Ergebnisse in die dafür vorgesehenen Kästchen. Sie brauchen Ihre Ergebnisse nicht zu begründen, für Begründungen und Ansätze gibt es aber auch keine Punkte. Für die richtige Antwort bekommen Sie die angegebene Punktzahl. Für eine falsche Antwort gibt es Null Punkte. 6 Es sei V = ⟨sin^{2}, cos^{2}, sin · cos⟩ ≤ ℝ^{ℝ} und B = (sin^{2}, cos^{2}, sin · cos), ferner sei φ ∈ End V

gegeben durch φ(f) : x ↦ f′(x) − f′′(x) für f ∈ V.

Dann ist  M_{B}^{B}(φ) =  (6 Punkte)

7 Es sei K ein Körper. Ist

A = [ \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ] ∈ K^{3×3}, f = X^{6} − X^{5} + X^{4} − X^{3} + X − 1 ∈ K[X],

dann ist  f(A) =  (6 Punkte)

8 Es sei

A = [ \begin{matrix}0 & −1 & −1 \\ 1 & 0 & −3 \\ 0 & −1 & −1 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3}.

Dann ist das Minimalpolynom  μ_{A} =  (3 Punkte)
Die Eigenwerte von A sind:  Eigenwerte:  (2 Punkte)

Geben Sie P ∈ GL_{3}(ℚ) an so, dass P^{−1}AP eine Diagonalmatrix ist: P =

(3 Punkte)

Beantworten Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an. 9 Berechnen Sie die Inverse von

A = [ \begin{matrix}1 & −6 & −2 \\ 1 & −2 & 1 \\ −1 & 1 & −2 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3}

mittels elementarer Zeilenoperationen. Dokumentieren Sie genau die Umformungen und geben Sie A^{−1} explizit an. (6 Punkte)

10 Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, φ ∈ GL(V), ψ ∈ End(V) und v ein Eigenvektor von ψ ∘ φ. Bestimmen Sie einen Eigenvektor von φ ∘ ψ. (6 Punkte)

11 Es sei A = [a_{i,j}] ∈ ℤ^{n×n} mit a_{i,j} = \{ \begin{matrix}2 & für i = j \\ 1 & für i ≠ j \end{matrix} .

Berechnen Sie det A. Begründen Sie Ihre Umformungen bzw. Berechnungen. (6 Punkte) 12 Es sei K ein Körper und A ∈ K^{n×n} invertierbar. Beweisen Sie, dass es ein Polynom f ∈ K[X]

mit Grad f < n gibt mit A^{−1} = f(A). Hinweis: Betrachten Sie das Minimalpolynom. (6 Punkte)