Aufgabenblatt 1 zur Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (14. 3. 1995)

Professor Dr. H. Pahlings, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 1. Formulieren Sie Definitionen für die folgenden Begriffe:

a) Wann heißt eine Abbildung injektiv? 1 Punkt b) Wann heißt ein Endomorphismus diagonalisierbar? 1 Punkt c) Was heißt Dualraum? 1 Punkt

Zur Erinnerung: Vergessen Sie nicht, jeweils alle Voraussetzungen anzugeben und alle Bezeichnungen, die Sie benutzen (wie z. B. K oder V), zu erklären.

Aufgabe 2. Es sei V der IR-Vektorraum aller Abbildungen von IR nach IR.

a) Ist M_{1} = {f ∈ V | f(2) = f(0) + 2} ein Teilraum von V? 2 Punkte b) Ist M_{2} = {f ∈ V | f(2) = f(1) · 2} ein Teilraum von V? 3 Punkte

(Antwort jeweils mit Begründung.)

Für die Aufgaben 3 bis 5 nehmen wir an, es sei V der Vektorraum V = ZZ_{5}^{3×1}, und es seien in

V die Teilräume T_{1} = ⟨[ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ]⟩, T_{2} = ⟨[ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}4 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} ]⟩ und T_{3} = ⟨[ \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ]⟩ gegeben.

Warnung: Denken Sie daran, über ZZ_{5} zu rechnen!

Aufgabe 3.

a) Berechnen Sie die Dimensionen von T_{1}, von T_{2} und von T_{1} + T_{2}. 3 Punkte b) Es gibt einen Dimensionssatz, mit dem man hieraus die Dimension von

T_{1} ∩ T_{2} berechnen kann. Formulieren Sie diesen Satz (als vollständigen

Satz mit allen Voraussetzungen). 2 Punkte

Aufgabe 4. Berechnen Sie je eine Basis für T_{2} und für den Faktorraum V/T_{2}. (Formulierung und Begründung sind wichtig.) 3 Punkte Aufgabe 5. Berechnen Sie eine Basis für T_{1} ∩ T_{3}. 5 Punkte Zur Erinnerung: Denken Sie daran, über ZZ_{5} zu rechnen!

Aufgabe 6. Es sei V = Q I ^{2×2} der Vektorraum der 2 × 2-Matrizen über Q I .

a) Zeigen Sie, daß die durch φ(A) = A + A^{tr} für A ∈ V definierte Abbildung φ: V → V linear ist. 2 Punkte

b) Geben Sie eine Basis B von V an, und berechnen Sie die Abbildungsmatrix B [φ]_{B} von φ bezüglich B. 4 Punkte

c) Berechnen Sie den Rang von φ. 2 Punkte

Aufgabe 7. Gibt es ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 7 Unbekannten über einem geeigneten Körper K, das genau 4 Lösungen hat? (Antwort mit konkretem Beispiel und Beweis oder mit Gegenbeweis. Ausführliche und vollständige Argumentation ist wichtig.) 5 Punkte

Aufgabe 8. Es sei V = ZZ_{3}^{5×1} und T ein Teilraum der Dimension 2 von V.

a) Berechnen Sie die Anzahl der Elemente von T. 2 Punkte b) Berechnen Sie die Anzahl der Basisfolgen von V und von T. 2 Punkte c) Berechnen Sie die Anzahl der 2-dimensionalen Teilräume von V. 3 Punkte

(Antwort jeweils mit Begründung.)

Für die Aufgaben 9 bis 10 legen wir folgende Bezeichnungen fest: Es sei V = IR^{3×1} und B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) eine Basisfolge von V. Durch die Basiswechselmatrix

B [id]_{C} = [ \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ −1 & 1 & 0 \end{matrix} ] und die Abbildungsmatrix _{B} [φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & −1 \\ 1 & 2 & 0 \end{matrix} ] seien eine weitere

Basis C von V und eine lineare Abbildung φ: V → V gegeben.

Aufgabe 9.

a) Berechnen Sie die Basiswechselmatrix _{C} [id]_{B}. 5 Punkte b) Berechnen Sie die Abbildungsmatrix _{C} [φ]_{C}. 3 Punkte

Aufgabe 10.

a) Berechnen Sie die Eigenwerte von φ und ihre Vielfachheiten. 5 Punkte b) Berechnen Sie zu jedem Eigenwert von φ den zugehörigen Eigenraum. 3 Punkte Aufgabe 11. Es sei V = IR^{3×1} und B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) eine Basisfolge von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V

sei gegeben durch die Matrix [Φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \end{matrix} ]. Berechnen Sie mit Hilfe der Methode der

simultanen Zeilen- und Spaltenumformungen eine Orthogonalbasis C = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) von V bezüglich Φ, und geben Sie

a) die Matrix [Φ]_{C}, 5 Punkte b) die Basiswechselmatrix _{B} [id]_{C} und 1 Punkt c) die Basisvektoren w_{1}, w_{2}, w_{3} (als Ausdrücke in v_{1}, v_{2}, v_{3}) an. 1 Punkt

Aufgabe 12. Es sei n ∈ IN. Die Matrix A = [ a_{ij}] ∈ Q I ^{n×n} sei definiert durch

a_{ij} = \{ \begin{matrix}−1 & für i = j = 1, \\ −2 & für i = j ≥ 2, \\ 1 & für | i − j | = 1, \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Berechnen Sie die Determinante von A. 4 Punkte