Aufgabenblatt Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (28. 9. 1995)

Professor Dr. H. Pahlings, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 1.

Formulieren Sie Definitionen für die folgenden Begriffe.

a) \underline{Basisfolge} eines endlich erzeugten Vektorraums (geben Sie zwei verschiedene Definitionen an), 2 Punkte

b) \underline{charakteristisches Polynom} (wovon?). 2 Punkte Zur Erinnerung: Eine Definition besteht aus einem oder mehreren vollständigen Sätzen, alle Voraussetzungen werden angegeben, und für alle auftretenden Namen (wie z. B. K oder V) wird gesagt, was für Objekte sie bezeichnen.

Aufgabe 2.

Welche der folgenden Teilmengen des Zeilenraums V = IR^{1×4} sind Teilräume von V?

a) M_{1} = { [x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}] ∈ V | x_{1}^{2} + x_{3}^{4} = 0 }, 3 Punkte b) M_{2} = { [x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}] ∈ V | x_{2}^{1} + x_{4}^{3} = 0 }. 2 Punkte

(Antwort jeweils mit Begründung.)

Aufgabe 3.

Bringen Sie die Matrix A = [ \begin{matrix}1 & 1 & 0 & −1 \\ 1 & 0 & −1 & 1 \\ −1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & −1 & 0 \end{matrix} ] ∈ K^{4×4} durch elementare Zeilenumformungen

auf Stufenform, und geben Sie ihren Rang an a) für den Fall K = ZZ_{2}, 2 Punkte b) für den Fall K = ZZ_{3}. 3 Punkte

Aufgabe 4.

Gegeben sei ein 4-dimensionaler Vektorraum V über einem Körper K. Für welche der Zahlen n ∈ {0, 1, 2, 3, 4} gibt es zwei 3-dimensionale Teilräume T_{1} und T_{2} von V mit dim (T_{1} ∩ T_{2}) = n, für welche nicht? (Mit Beweis. Geben Sie insbesondere im ersten Fall jeweils ein konkretes Beispiel für T_{1} und T_{2} an.) 6 Punkte

Aufgabe 5.

Es sei K ein Körper, n ∈ IN und V = K^{n×n} der Vektorraum der n × n-Matrizen über K.

a) Zeigen Sie: Ist A ∈ K^{n×n} (fest gewählt), so ist die durch φ(X) = XA für X ∈ V definierte Abbildung φ: V → V linear. (Argumentation und Formulierung sind wichtig.) 3 Punkte

b) Sei nun konkret K = IR, n = 2 und A = [ \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ]. Wählen Sie eine Basis B von V (geben

Sie sie an), und berechnen Sie die Abbildungsmatrix _{B} [φ]_{B} von φ bezüglich B. 4 Punkte

Vordiplom-Klausur Lineare Algebra 28. 9. 1995

Aufgabe 6.

a) Ist jedes lineare Gleichungssystem mit drei Gleichungen und fünf Unbekannten über einem beliebigen Körper lösbar? 3 Punkte

b) Gibt es (über einem geeigneten Körper) ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und fünf Unbekannten, das genau vier Lösungen hat? 3 Punkte

(Antwort jeweils mit Begründung.)

Aufgabe 7.

Es sei K ein endlicher Körper mit q Elementen.

a) Wieviele invertierbare Matrizen gibt es in K^{2×2}? 3 Punkte b) Wieviele Matrizen A ∈ K^{2×2} mit det A = 0 gibt es? 2 Punkte c) Es sei 0 ≠ d ∈ K. Wieviele Matrizen A ∈ K^{2×2} mit det A = d gibt es? 3 Punkte

(Antwort jeweils mit Begründung.)

Aufgabe 8.

Es sei V = IR^{3×1} und B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) eine Basisfolge von V. Eine lineare Abbildung φ: V → V

sei durch die Abbildungsmatrix _{B} [φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & −1 \\ 1 & 2 & 0 \end{matrix} ] gegeben.

a) Berechnen Sie die Eigenwerte von φ und ihre algebraischen Vielfachheiten. 5 Punkte b) Berechnen Sie zu jedem Eigenwert von φ eine Basis des zugehörigen Eigenraums.

(Warnung: Verwechseln Sie die Vektoren der Eigenräume nicht mit ihren

Koeffizientenspalten bezüglich B.) 3 Punkte

Aufgabe 9.

Es sei V = IR^{3×1} und B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) eine Basisfolge von V. Ein Skalarprodukt Φ auf V sei

gegeben durch die Matrix [Φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 2 & 2 \\ 2 & 5 & 3 \\ 2 & 3 & 0 \end{matrix} ].

a) Berechnen Sie mit Hilfe der Methode der simultanen Zeilen- und Spaltenumformungen eine Orthogonalbasis C = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) von V bezüglich Φ, und geben Sie die Matrix [Φ]_{C} sowie die Basiswechselmatrix _{B} [id]_{C} an. 5 Punkte

b) Ist Φ ausgeartet? (Begründung.) 1 Punkt c) Ist Φ positiv definit? (Begründung.) 1 Punkt

Aufgabe 10.

Es sei n ∈ IN. Die Matrix A = [ a_{ij}] ∈ Q I ^{n×n} sei definiert durch a_{ij} = \{ \begin{matrix}2 & für i = j, \\ −1 & für | i − j | = 1, \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Berechnen Sie die Determinante von A. 5 Punkte