3.4.2000

Nachholklausur zur Linearen Algebra I

WS99/00

Ankreuzteil

Dieses Blatt muss abgegeben werden. Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung: Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Die Zahl der Punkte aus dem Ankreuzteil wird durch 2 geteilt und zur Zahl der Punkte aus dem anderen Teil addiert, um die Gesamtpunktzahl der Klausur zu errechnen. Sie brauchen Ihre Kreuze nicht zu begründen!

Aufgabe 1. Sei ℚ der Körper der rationalen Zahlen und V der ℚ-Vektorraum ℚ^{2×2}. Sind die folgenden Teilmengen Teilräume?

\{[ \begin{matrix}x & y \\ y & x \end{matrix} ]| x, y ∈ ℚ\}  □ Ja □ Nein
\{[ \begin{matrix}x & 1 \\ 0 & x \end{matrix} ]| x ∈ ℚ\}  □ Ja □ Nein
\{[ \begin{matrix}x & 0 \\ 0 & x^{2} \end{matrix} ]| x ∈ ℚ\}  □ Ja □ Nein
{A ∈ V | Spur A = 0}  □ Ja □ Nein

{A ∈ V | det A = 0} □ Ja □ Nein

Aufgabe 2. Es sei K ein Körper, V und W K-Vektorräume und φ : V → W eine K-lineare Abbildung. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Kern(φ) = {w ∈ W | es gibt v ∈ V mit φ(v) ≠ w} □ Ja □ Nein

Für M ⊆ W ist φ^{−1} (M) = {v ∈ V | φ(v) ∈ M} ein Teilraum von V □ Ja □ Nein Kern(φ) ⊆ Kern(φ^{2}), falls V = W □ Ja □ Nein {(v_{1}, v_{2}) ∈ V × V | φ(v_{1} − v_{2}) = 0} ist eine Äquivalenzrelation auf V □ Ja □ Nein

Bild(φ) = {w ∈ W | es existiert ein v ∈ V mit w = φ(v)}  □ Ja □ Nein

Aufgabe 3. Es seien A, A′, S ∈ ℝ^{n×n} (nicht notwendig invertierbar) mit AS = SA′. Dann gilt:

det A^{m} = 0 für ein m ∈ ℕ ⟹ det A = 0  □ Ja □ Nein
det(A · A^{T}) ≥ 0  □ Ja □ Nein

det(A + A′) = det A + det A′ □ Ja □ Nein det A = det A′ □ Ja □ Nein det(sA) = s det(A) für alle s ∈ ℝ □ Ja □ Nein Aufgabe 4. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? {[1, 0, 1], [1, 1, 1]} ist Basis von ℝ^{1×3}. □ Ja □ Nein {[1, 1, 1], [1, 1, 0], [2, 2, 1]} ist Erzeugendensystem von ℝ^{1×3}. □ Ja □ Nein

{[1, 0], [1, −1]} ist linear unabhängig in ℝ^{1×2}.  □ Ja □ Nein
{[0, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 1, 1]} ist Basis von ℝ^{1×3}.  □ Ja □ Nein

{[1, 1, 1], [1, 1, 0]} ist Basis des Teilraums ⟨[1, 2, 0], [2, 2, 1]⟩ von ℝ^{1×3}. □ Ja □ Nein

Aufgabe 5. Es seien φ : V → W und ψ : W → U lineare Abbildungen zwischen den K-Vektorräumen V, W und U. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

Wenn φ und ψ injektiv sind, dann ist auch ψ ∘ φ injektiv.  □ Ja □ Nein
Wenn φ und ψ surjektiv sind, dann ist auch ψ ∘ φ surjektiv.  □ Ja □ Nein

Wenn φ surjektiv und ψ injektiv ist, dann ist auch ψ ∘ φ injektiv. □ Ja □ Nein Wenn ψ ∘ φ surjektiv ist, dann ist auch ψ surjektiv. □ Ja □ Nein Wenn ψ ∘ φ injektiv ist, dann ist auch ψ injektiv. □ Ja □ Nein

Aufgabe 6. S sei ein lineares Gleichungssystem mit 5 Gleichungen und 3 Unbekannten über dem Körper ℝ. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Jedes solche S hat eine Lösung. □ Ja □ Nein Es gibt ein solches S, das eindeutig lösbar ist. □ Ja □ Nein Es gibt ein solches S, das genau 2 Lösungen hat. □ Ja □ Nein Es gibt ein solches S, das unendlich viele Lösungen hat. □ Ja □ Nein Jedes solche S hat unendlich viele Lösungen. □ Ja □ Nein

Aufgabe 7. Es seien A, B ∈ ℝ^{n×n} und c ∈ ℝ^{n×1}. Dann gilt: Ist A^{m} = 0 für ein m ∈ ℕ, so ist Rang(A) < n □ Ja □ Nein Rang(A + B) ≥ min(Rang(A), Rang(B)) □ Ja □ Nein

Rang(c · c^{T}) = 1, falls c ≠ 0  □ Ja □ Nein
Rang(c^{T} · c) = 1, falls c ≠ 0  □ Ja □ Nein

Rang(AB) = Rang(BA) □ Ja □ Nein

Aufgabe 8. Welche der folgenden Matrizen aus ℝ^{2×2} sind diagonalisierbar?

[ \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} ]  □ Ja □ Nein
[ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} ]  □ Ja □ Nein
[ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ]  □ Ja □ Nein
[ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ]  □ Ja □ Nein
[ \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ]  □ Ja □ Nein

Aufgaben mit Begründung

In diesem Teil müssen Sie alle Aussagen begründen. Natürlich dürfen Sie Aussagen aus der Vorlesung ohne Beweis benutzen. Aufgabe 9. Sei V := ℝ^{1×2} und φ : V → V die Abbildung, die durch φ([x, y]) = [3x − 7y, x − 2y] gegeben ist. Seien weiter B_{1} := ([1, 2], [2, 1]) und B_{2} := ([0, 1], [−1, 0]).

(a) Zeigen Sie, dass φ linear ist. (2 Punkte)

(b) Zeigen Sie, dass B_{1} und B_{2} Basisfolgen von V sind. (2 Punkte)

(c) Berechnen Sie _{B_{1}}[id_{V}]_{B_{2}} und _{B_{2}}[φ]_{B_{1}}. (2 Punkte)

(d) Wie erhält man _{B_{1}}[φ]_{B_{1}} und _{B_{2}}[φ]_{B_{2}} direkt aus den Ergebnissen aus (c)? (2 Punkte)

Aufgabe 10. Sei A = [a_{ij}] ∈ ℚ^{n×n} mit n ∈ ℕ und

a_{ij} = i · j für 1 ≤ i, j ≤ n

Man berechne Rang(A) und det(A). (6 Punkte)

Aufgabe 11. Sei K ein Körper, A = [ \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] ∈ V = K^{2×2} und φ : V ⟶ V definiert durch φ(X) = AX − XA für alle X ∈ V.

(a) Zeigen Sie, dass φ linear ist. (2 Punkte)

(b) Geben Sie je eine Basis von Kern(φ) und Bild(φ) an. (3 Punkte)

(c) Ergänzen Sie eine Basis von Kern(φ) zu einer Basis von V. (3 Punkte)

Aufgabe 12. Es sei K ein Körper, in dem 1 ≠ −1 gilt. Weiter sei φ : K^{1×n} → K^{1×n} die lineare Abbildung, die Vektoren ”spiegelt“, es gelte also φ([x_{1}, x_{2}, …, x_{n}]) = [x_{n}, x_{n−1}, …, x_{1}].

(a) Man berechne das Minimalpolynom von φ. (2 Punkte)

(b) Ist φ diagonalisierbar? (2 Punkte)

(c) Was sind die Eigenwerte von φ? (2 Punkte)

(d) Geben Sie zu jedem Eigenwert eine Basis des zugehörigen Eigenraums an. (2 Punkte)

Aufgabe 13. Es sei A ∈ 𝔽_{2}^{4×4} die folgende Matrix:

A := [ \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ]

(a) Zeigen Sie: 1 ist Eigenwert von A. (3 Punkte)

(b) Berechnen Sie den Eigenraum von A zum Eigenwert 1. (3 Punkte)

(c) Berechnen Sie die Jordansche Normalform von A. (4 Punkte)