Aufgaben mit Begründung

In diesem Teil müssen Sie alle Aussagen begründen. Natürlich dürfen Sie Aussagen aus der Vorlesung ohne Beweis benutzen.

Aufgabe 10. Geben Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems über dem endlichen Körper 𝔽_{2} an:

x_{3}  + x_{5} = 1
x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}  = 1
x_{1} + x_{2}  + x_{4} + x_{5} = 0
x_{1} + x_{2} + x_{3}  + x_{5} = 1

Wieviele Lösungen gibt es? (4 Punkte)

Aufgabe 11. Es sei K ein Körper. Für i ∈ ℕ ∪ {0} sei p_{i} ∈ Abb(K, K) durch p_{i}(x) = x^{i} definiert (wobei p_{0}(0) := 1).

(a) Zeigen Sie, dass die Menge M := {p_{0}+p_{1}, p_{0}+p_{1}+p_{2}} linear unabhängig in Abb(K, K) ist. (2 Punkte)

(b) Ergänzen Sie M zu einer Basis von P_{3}(K) = ⟨{p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}}⟩. (2 Punkte)

Aufgabe 12.

(a) Gibt es eine ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2×3} → ℝ^{2×2} mit

Kern(φ) = \{[ \begin{matrix}x & x & x \\ y & y & y \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×3} | x ∈ ℝ, y ∈ ℝ\}

und

Bild(φ) = \{[ \begin{matrix}x & y \\ y & x \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×2} | x ∈ ℝ, y ∈ ℝ\} ?

(2 Punkte)

(b) Gibt es eine ℝ-lineare Abbildung ψ : ℝ^{2×2} → ℝ^{2×2} mit

Kern(ψ) = \{[ \begin{matrix}x & x \\ y & y \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×2} | x ∈ ℝ, y ∈ ℝ\}

und

Bild(ψ) = \{[ \begin{matrix}x & y \\ y & x \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×2} | x ∈ ℝ, y ∈ ℝ\} ?

(3 Punkte)

Geben Sie jeweils entweder eine solche Abbildung an oder beweisen Sie, dass es keine gibt.

Aufgabe 13.

(a) Ist die Abbildung f : 𝔽_{3} → 𝔽_{3}, x ↦ x^{2} + x surjektiv? (2 Punkte)

(b) Ist die Abbildung f : 𝔽_{3}^{2×3} → 𝔽_{3}^{2×3}, X ↦ [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] · X surjektiv? (3 Punkte)

Aufgabe 14. Sei K ein Körper, A = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] ∈ V = K^{2×2} und φ : V ⟶ V definiert durch φ(X) = AX − XA für alle X ∈ V.

(a) Zeigen Sie, dass φ linear ist. (2 Punkte)

(b) Geben Sie je eine Basis von Kern(φ) und Bild(φ) an. (3 Punkte)

(c) Ergänzen Sie eine Basis von Kern(φ) zu einer Basis von V. (2 Punkte)

Ankreuzteil

Dieses Blatt muss abgegeben werden. Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung: Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Die Zahl der Punkte aus dem Ankreuzteil wird durch 3 geteilt und zur Zahl der Punkte aus dem anderen Teil addiert, um die Gesamtpunktzahl der Klausur zu errechnen. Sie brauchen Ihre Kreuze nicht zu begründen!

Aufgabe 1. Sei K ein Körper, W ein K-Vektorraum und V_{1} und V_{2} Teilräume von W. Dann gilt:

W = {k · w | k ∈ K und w ∈ W } □ Ja □ Nein

W = V_{1} + V_{2} □ Ja □ Nein

W × K = {w · k | k ∈ K und w ∈ W } □ Ja □ Nein

V_{1} ∩ V_{2} ist Teilraum von W  □ Ja □ Nein
W + V_{1} = W + V_{2}  □ Ja □ Nein

Aufgabe 2. Es sei K ein Körper, V und W K-Vektorräume und φ : V → W eine K-lineare Abbildung. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Kern(φ) = φ^{−1}({0})  □ Ja □ Nein
Bild(φ) = {w ∈ W | es existiert ein v ∈ V mit w = φ(v)}  □ Ja □ Nein

Für M ⊆ W ist φ^{−1}(M) = {v ∈ V | für alle w ∈ M ist φ(v) = w} □ Ja □ Nein

φ(v · w) = φ(v) · φ(w) □ Ja □ Nein

{(v_{1}, v_{2}) ∈ V × V | φ(v_{1} − v_{2}) = 0} ist eine Äquivalenzrelation auf V □ Ja □ Nein

Aufgabe 3. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? {(x, y, x − y) | x, y ∈ ℝ} ist Teilraum in ℝ^{3} □ Ja □ Nein {(x, 1) | x ∈ ℝ} ist Teilraum in ℝ^{2} □ Ja □ Nein ∅ ist Teilraum in ℝ^{2} □ Ja □ Nein

⟨{(x, 1) | x ∈ ℝ}⟩ ist Teilraum in ℝ^{2}  □ Ja □ Nein
{φ : ℝ → ℝ | φ ist linear} ist ein Teilraum des ℝ-Vektorraums ℝ^{ℝ}  □ Ja □ Nein

Aufgabe 4. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? {(1, 0, 1), (1, 2), (0, 1, 0)} ist Basis von ℝ^{3} □ Ja □ Nein {(1, 0, 1), (1, 2, 1), (0, 1, 0)} ist Basis von ℝ^{3} □ Ja □ Nein {(1, 0), (0, 1), (0, 0)} ist Basis von ℝ^{2} □ Ja □ Nein {(1, 1, 1), (1, 2, 3)} ist Basis von ℝ^{3} □ Ja □ Nein {(1, 2, 3), (0, 2, 0)} ist Basis des Teilraums ⟨(1, 1, 1), (1, 0, 1)⟩ von ℝ^{3} □ Ja □ Nein Aufgabe 5. K sei ein Körper, V ein K-Vektorraum und X ⊆ V eine Teilmenge von V. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Ist X Basis von V, dann ist X endlich □ Ja □ Nein Ist X Basis von V, dann ist X auch Erzeugendensystem von V □ Ja □ Nein Ist X linear abhängig, dann ist X kein Erzeugendensystem von V □ Ja □ Nein Ist X linear unabhängig, dann existiert kein v ∈ X mit v ∈ ⟨X \ {v}⟩ □ Ja □ Nein Wenn ein v ∈ V \ ⟨X⟩ existiert, dann ist X \ {v} keine Basis von V □ Ja □ Nein

Aufgabe 6. Es sei K ein Körper und alle K^{n} (n ∈ ℕ) seien als K-Vektorräume aufgefasst. Welche der folgenden Abbildungen sind linear?

φ : K^{2} → K^{3}, (x_{1}, x_{2}) ↦ (x_{2}, x_{2} + x_{1}, x_{1}) □ Ja □ Nein

φ : K^{2} → K, (x_{1}, x_{2}) ↦ (x_{1} − 1) · (x_{2} + 1) □ Ja □ Nein

φ : K → K, x ↦ 1 □ Ja □ Nein

φ : K → K^{2}, x ↦ (x, x + x)  □ Ja □ Nein
φ : K → K, x ↦ 0  □ Ja □ Nein

Aufgabe 7. Es sei K ein Körper und V und W K-Vektorräume. φ : V → W und ψ : V → W seien zwei lineare Abbildungen. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

Kern(φ + ψ) ⊇ Kern(φ) ∩ Kern(ψ)  □ Ja □ Nein
Bild(φ + ψ) ⊆ Bild(φ) + Bild(ψ)  □ Ja □ Nein

Kern(φ + ψ) = Kern(φ) ∩ Kern(ψ) □ Ja □ Nein Bild(φ − ψ) ⊇ Bild(φ) + Bild(ψ) □ Ja □ Nein Kern(φ + ψ) = Kern(φ) + Kern(ψ) □ Ja □ Nein

Aufgabe 8. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Jede ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2000} → ℝ^{1999} ist surjektiv. □ Ja □ Nein Es gibt eine injektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{1999} → ℝ^{2000}. □ Ja □ Nein Jede ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{1999} → ℝ^{2000} ist injektiv. □ Ja □ Nein Es gibt eine surjektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2000} → ℝ^{1999}. □ Ja □ Nein Es gibt eine surjektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{1999} → ℝ^{2000}. □ Ja □ Nein

Aufgabe 9. Welche Aussagen sind richtig? Ein lineares Gleichungssystem über einem Körper

a_{11}x_{1} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
⋮  ...  ⋮  ⋮
a_{m1}x_{1} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}

— heißt homogen, wenn b_{1} = 0 ist. □ Ja □ Nein

— ist lösbar, wenn m = n ist. □ Ja □ Nein

— hat einen Lösungsraum der Dimension n − Rg [a_{ij}], □ Ja □ Nein falls b_{1} = ⋯ = b_{m} = 0 ist.

— kann unlösbar sein, wenn b_{1} ≠ 0 ist. □ Ja □ Nein

— hat immer die Lösung x_{1} = ⋯ = x_{n} = 0. □ Ja □ Nein