Test 1 im WS99/00

T1) Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Dann gilt:

V = {v + w| v ∈ V und w ∈ V }  □ Ja  □ Nein
V × V = {v + w| v ∈ V und w ∈ V }  □ Ja  □ Nein
K × V = {s · v| s ∈ K und v ∈ V }  □ Ja  □ Nein

T2) Seien K, V wie in T1), U ein Teilraum von V und u, v ∈ V. Dann gilt:

u, v ∈ U ⟹ u + v ∈ U  □ Ja  □ Nein
u, v ∉ U ⟹ u + v ∉ U  □ Ja  □ Nein
u ∈ U, v ∉ U ⟹ u + v ∉ U  □ Ja  □ Nein
s ∈ K, u ∉ U ⟹ s · u ∉ U  □ Ja  □ Nein
u ∈ U, v ∉ U ⟹ u + v ∈ U  □ Ja  □ Nein

T3) Sind die folgenden Teilmengen auch Teilräume des ℝ-Vektorraumes ℝ^{3}?

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}  □ Ja  □ Nein
{(x, x, x)| x ∈ ℝ}  □ Ja  □ Nein
{(x, 1, 0)| x ∈ ℝ}  □ Ja  □ Nein
{(0, 0, 0)}  □ Ja  □ Nein
∅  □ Ja  □ Nein

T4) Sei V ein Vektorraum.

Ist U Teilraum von V, so ist stets V \ U auch Teilraum.  □ Ja  □ Nein
Es gibt einen Teilraum U von V, so dass V \ U auch Teilraum ist.  □ Ja  □ Nein
Es gibt keinen Teilraum U von V, so dass V \ U auch Teilraum ist.  □ Ja  □ Nein

T5) Sei V ein Vektorraum. X ⊆ V ist genau dann linear unabhängig, wenn

– für jedes v ∈ X gilt v ∈ ⟨X \ {v}⟩.  □ Ja  □ Nein
– 0 ∈ ⟨X⟩.  □ Ja  □ Nein
– es ein v ∈ V gibt mit v ∈ ⟨X \ {v}⟩.  □ Ja  □ Nein

T6) Sind die folgenden Teilmengen von ℝ^{3} linear unabhängig?

{(1, 1, 1), (0, 1, 1)}  □ Ja  □ Nein
{(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0)}  □ Ja  □ Nein
{(1, 1, 1), (0, 0, 0)}  □ Ja  □ Nein
∅  □ Ja  □ Nein
{(0, 0, 0)}  □ Ja  □ Nein

T7) Sei V ein Vektorraum und X ⊆ Y ⊆ V. Dann gilt:

X linear unabhängig ⟹ Y linear unabhängig  □ Ja  □ Nein
X linear abhängig ⟹ Y linear abhängig  □ Ja  □ Nein
X ist Erzeugendensystem von V ⟹ Y ist Erzeugendensystem von V  □ Ja  □ Nein
Y ist Erzeugendensystem von V ⟹ X ist Erzeugendensystem von V  □ Ja  □ Nein

Auswertung: Richtige Antwort 1 Punkt, keine Antwort 0 Punkte, falsche Antwort −1 Punkt.