Test 3 im WS99/00

In allen Aufgaben sei K ein Körper.

T1) Seien A, A′ ∈ K^{n×n}. Wenn A′ aus A durch elementare Zeilenumformungen entsteht, dann gilt

det(A′) = det(A) □ Ja ⊠ Nein det(A′) = ± det(A) □ Ja ⊠ Nein det(A) = 0 ⇔ det(A′) = 0 ⊠ Ja □ Nein

T2) Für A, B ∈ K^{n×n} und s ∈ K gilt:

det(A + B) = det(A) + det(B) □ Ja ⊠ Nein det(s · A) = s · det(A) □ Ja ⊠ Nein det(AB) = det(A) · det(B) ⊠ Ja □ Nein

T3) (Ergebnis eintragen). Für s ∈ K ist det ([ \begin{matrix}s & s & s \\ s & s & s \\ s & s & s \end{matrix} ]) =  0

T4) Sei A ∈ K^{n×n} mit det(A) = 0 und b ∈ K^{n×1}. Dann ist das Gleichungssystem Ax = b

– nur lösbar für b = \underline{0}. □ Ja ⊠ Nein – für jedes b lösbar, aber nicht eindeutig. □ Ja ⊠ Nein – für manche b lösbar, aber für kein b eindeutig lösbar. ⊠ Ja □ Nein

T5) Ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 5 Unbekannten über 𝔽_{2}

– ist stets lösbar. □ Ja ⊠ Nein – ist nie eindeutig lösbar. ⊠ Ja □ Nein – kann genau 4 Lösungen haben. ⊠ Ja □ Nein – kann genau 2 Lösungen haben. □ Ja ⊠ Nein

T6) Sei B ∈ K^{3×2}, C ∈ K^{2×3} und A = BC. Dann gilt:

det(A) = det(B) · det(C) □ Ja ⊠ Nein det(A) ist nicht definiert □ Ja ⊠ Nein det(A) = 0 ⊠ Ja □ Nein

T7) Seien f, g ∈ K[X] Polynome und sei f vom Grad n > 0. Dann gilt:

fg = 0 ⇒ g = 0 ⊠ Ja □ Nein für A ∈ K^{2×2} mit f · g(A) = 0 ist g(A) = 0 □ Ja ⊠ Nein Grad(f · g) = Grad(f) · Grad(g), falls g ≠ 0 □ Ja ⊠ Nein K[X] ∋ X − a ≠ 0 für jedes a ∈ K ⊠ Ja □ Nein

T8) Sei A ∈ ℚ^{10×10} mit A^{6} = E_{10}.

Dann ist det(A) = 1. □ Ja ⊠ Nein

Der Rang von A ist  10

Auswertung: Richtige Antwort 1 Punkt, keine Antwort 0 Punkte, falsche Antwort −1 Punkt.