Test 4 im WS99/00

In allen Aufgaben sei K ein Körper.

T1) Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen mit Einträgen aus 𝔽_{11} = {0, 1, …, 10} (x ∈ 𝔽_{11}):

[ \begin{matrix}3 & 7 \\ 2 & 7 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}x & x + 1 \\ x + 2 & x + 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 & 9 & 2 \\ 0 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 & 3 & 5 \\ 1 & 10 & 9 \\ 3 & 2 & 3 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 & 5 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 5 & 6 & 0 & 2 \end{matrix} ]

T2) Es seien V und W K-Vektorräume mit dim V = 3, dim W = 2 und φ : V → W ein Epimorphismus. Sind die folgenden Aussagen wahr?

B′[φ]_{B} ∈ K^{2×3} für Basisfolgen B von V und B′ von W  □ Ja  □ Nein
B′[φ]_{B} ∈ K^{3×2} für Basisfolgen B von V und B′ von W  □ Ja  □ Nein
B′[φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] für geeignete Basisfolgen B und B′  □ Ja  □ Nein
B′[φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] für geeignete Basisfolgen B und B′  □ Ja  □ Nein

B′[φ]_{B} = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] für geeignete Basisfolgen B und B′  □ Ja  □ Nein

T3) Sei φ ∈ End V mit charakteristischem Polynom χ_{φ} = (X − 1)^{5} und Minimalpolynom μ_{φ} = (X − 1)^{3}; ferner sei dim Kern(φ − id_{V}) = 2. Dann ist die Jordansche Normalform von φ (eines ankreuzen!):

[ \begin{matrix}0 \\ 1 & 0 \\ & 1 & 0 \\ & & 0 & 0 \\ & & & 1 & 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 1 & 1 \\ & 1 & 1 \\ & & 0 & 1 \\ & & & 1 & 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 1 & 1 \\ & 1 & 1 \\ & & 0 & 1 \\ & & & 0 & 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 1 & 1 \\ & 1 & 1 \\ & & 1 & 1 \\ & & & 1 & 1 \end{matrix} ]

T4) Sei V ein K-Vektorraum, φ ∈ End V und dim V = n < ∞. Sind die folgenden Aussagen wahr?

0 ∈ K kann Eigenwert von φ sein.  □ Ja  □ Nein
\underline{0} ∈ V kann Eigenvektor von φ sein.  □ Ja  □ Nein
φ kann n + 1 Eigenwerte haben.  □ Ja  □ Nein
φ kann n + 1 Eigenvektoren haben.  □ Ja  □ Nein
φ hat immer einen Eigenwert.  □ Ja  □ Nein
Ist 0 Eigenwert, so ist φ die Nullabbildung.  □ Ja  □ Nein
Die Summe von Eigenvektoren von φ ist auch Eigenvektor.  □ Ja  □ Nein
Jedes Vielfache eines Eigenvektors ist Eigenvektor.  □ Ja  □ Nein

T5) A und A′ seien n × n-Matrizen mit Einträgen in K. Sind die folgenden Aussagen wahr?

χ_{A} = χ_{A′} ⟹ A und A′ sind ähnlich  □ Ja  □ Nein
μ_{A} = μ_{A′} ⟹ A und A′ sind ähnlich  □ Ja  □ Nein
Rang A = n ⟺ χ_{A}(0) ≠ 0  □ Ja  □ Nein
Rang A = n ⟺ μ_{A}(0) ≠ 0  □ Ja  □ Nein
Rang A = 0 ⟺ χ_{A} = X^{n}  □ Ja  □ Nein

Auswertung: Richtige Antwort 1 Punkt, keine Antwort 0 Punkte, falsche Antwort −1 Punkt.