Lineare Algebra I, WS 2002/03, Prof. Dr. U. Schoenwaelder

Gruppe B

Scheinklausur (Teil B), 14.2.2003

Name: Matrikelnummer:

Scheinklausur (Teil B), 14.2.2003, Ankreuzteil, Gruppe B

Kreuzen Sie bei jeder Frage der Aufgaben 1 bis 5 entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Wenn Sie bei einer Frage unsicher sind, machen Sie einfach kein Kreuz.

1 Sind die folgenden Aussagen über einen vierdimensionalen \underline{3}-Vektorraum V und einen affinen Raum P über V richtig? V hat genau 30 eindimensionale Teilräume.

□ Ja □ Nein

Durch jeden Punkt in P gehen mindestens 50 Geraden.

□ Ja □ Nein

Jede Ebene in P hat genau 9 Punkte.

□ Ja □ Nein

V besitzt über eine Million Basen.

□ Ja □ Nein

2 Es seien K ein Körper und V und W Vektorräume über K. Weiter sei φ : V → W eine lineare Abbildung. Ist φ surjektiv und (v_{1}, v_{2}, v_{3}) eine Basis von V, dann ist (φ(v_{1}), φ(v_{2}), φ(v_{3})) ein Erzeugendensystem von W.

□ Ja □ Nein

Wenn φ injektiv ist, dann ist dim V ≤ dim W.

□ Ja □ Nein

Sind v_{1}, v_{2}, v_{3} ∈ V und ist (φ(v_{1}), φ(v_{2}), φ(v_{3})) linear unabhängig, dann ist (v_{1}, v_{2}, v_{3}) linear abhängig.

□ Ja □ Nein

3 Sind die folgenden Abbildungen φ : V → W zwischen den K-Vektorräumen V und W linear? K = ℝ, V = W = K-Polynome vom Grad ≤ 1, φ = (p(X) ↦ p(X) − 1).

□ Ja □ Nein

K = ℝ, V = W = K[X],

φ = (p_{0}X^{0} + p_{1}X^{1} + ⋯ + p_{n}X^{n} ↦ p_{0}X^{0} + p_{2}X^{2} + p_{3}X^{3} + ⋯ + p_{n}X^{n}). □ Ja □ Nein

K = ℝ, V = auf ℝ differenzierbare Funktionen f: ℝ → ℝ, W = ℝ^{ℝ}, φ = (f ↦ f′) [mit f′ ist hier die erste Ableitung gemeint].

□ Ja □ Nein

4 Es sei V der vierdimensionale ℂ-Vektorraum ℂ^{4}.

Es gibt einen Endomorphismus von V, der die Eigenwerte 2, 4 und 6 hat und sonst keine.

□ Ja □ Nein

Es gibt zu jedem c ∈ ℂ genau einen Endomorphismus von V, der einen vierdimensionalen Eigenraum zum Eigenwert c hat.

□ Ja □ Nein

Ein Endomorphismus φ von V ist genau dann invertierbar, wenn 0 nicht Eigenwert von φ ist.

□ Ja □ Nein

Jeder Endomorphismus von V hat vier paarweise verschiedene Eigenwerte.

□ Ja □ Nein

5 Wir betrachten ℝ-Vektorräume V mit einem Endomorphismus φ.

Gibt es ein Beispiel, wo das ℝ-Polynom X^{2} + 3 das Minimalpolynom von φ teilt und der Hauptraum zu X^{2} + 3 eine Eigenvektorbasis besitzt?

□ Ja □ Nein

Gibt es ein Beispiel, wo das Minimalpolynom von φ gleich (X − 3)^{2}(X − 5)^{2} ist und V keine Eigenvektorbasis besitzt?

□ Ja □ Nein

Gibt es ein Beispiel, wo der Durchschnitt zweier verschiedener Haupträume nicht der Nullteilraum ist?

□ Ja □ Nein

Gibt es zu einem gegebenen Hauptraum T immer ein Polynom q, so dass T gleich Bild q(φ) und die Summe aller anderen Haupträume gleich Kern q(φ) ist?

□ Ja □ Nein

Name: Matrikelnummer:

Scheinklausur (Teil B), 14.2.2003, Ergebnisteil, Gruppe B

Tragen Sie bei den Aufgaben 6 bis 9 jeweils nur die Ergebnisse in die dafür vorgesehenen Kästchen ein. Sie brauchen die Ergebnisse nicht zu begründen, für Begründungen und Ansätze gibt es aber auch keine Punkte. Für jede richtige Antwort bekommen Sie die angegebene Punktzahl. Für falsche Antworten gibt es Null Punkte.

6 Es sei α : V → W eine lineare Abbildung mit der Abbildungsmatrix _{C}α^{B} = [ \begin{matrix}1 & 2 & −1 & 0 \\ −2 & 0 & 3 & 2 \\ 2 & −1 & 4 & 3 \end{matrix} ].

Geben Sie das Bild der Spalte [ \begin{matrix}3 \\ 1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} ] unter der verpflanzten Abbildung α′: ℝ^{4×1} → ℝ^{3×1} an.

(3 Punkte)

7 Wir fassen den Körper ℂ der komplexen Zahlen als 2-dimensionalen ℝ-Vektorraum ℂ_{ℝ} auf. Dann ist die Multiplikation ψ_{λ} = (z ↦ z ·λ für z ∈ ℂ) : ℂ → ℂ mit einer festen Zahl λ ∈ ℂ offenbar ein

Endomorphismus von ℂ. Berechnen Sie die Matrix _{C}ψ_{λ}^{B} = [ ] bezüglich der Basen B = (1, i)

und C = ( \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, \frac{1}{2} − \frac{i}{2} ) von ℂ_{ℝ} für λ = 2 − 3i. (4 Punkte)

8 Der Endomorphismus φ des ℚ-Vektorraums V habe bezüglich einer Basis B die Matrix

Bφ^{B} = [ \begin{matrix}3 & −2 \\ 15 & −8 \end{matrix} ]. Die Eigenwerte dieser Matrix sind −2 und −3. Bestimmen Sie eine Eigenvektor-

basis C von φ und geben Sie die Basiswechselmatrix _{B}id^{C} = [  ] an.  (4 Punkte)

9 In einem reellen affinen Raum (P, V, ∗) sei ein Dreieck [A, B, C] durch seine beschreibenden Vektoren a, b, c bezüglich eines Ursprungs U gegeben. Es sei δ eine invertierbare lineare Abbildung von V nach V und Δ = (U ∗ x ↦ U ∗ δ(x)) die zugehörige Abbildung von P nach P. Welchen beschreibenden Vektor hat der Seitenhalbierenden-Schnittpunkt des Bilddreiecks [Δ(A), Δ(B), Δ(C)]?

(4 Punkte)

Scheinklausur (Teil B), 14.2.2003, schriftlicher Teil, Gruppe B

Beantworten Sie die Aufgaben 10 bis 13 schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an.

10 Gegeben sind die Vektorräume V = \underline{3}^{1×2} und W = \underline{3}^{2×1} über dem Körper \underline{3} = \{0, 1, 2\} sowie die

Abbildung φ = ( [a, b] ↦ [ \begin{matrix}a + 2b \\ a − b^{3} \end{matrix} ]): V → W. Ist φ linear? (Antwort mit Beweis.) (5 Punkte)

11 Gegeben seien φ-invariante Teilräume T ≤ T′ ≤ V eines Vektorraums V mit Endomorphismus φ.

Beweisen Sie für die Minimalpolynome, dass m_{T} ein Teiler von m_{T′} ist. (4 Punkte) 12 Es sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und φ ein Endomorphismus von V. Weiter seien ein

Vektor v ∈ V und sein φ-Erzeugnis T = _{φ}⟨v⟩ gegeben. Zeigen Sie: Ist p(X) ein K-Polynom mit p(φ)(v) = 0, so ist p(φ)|_{T} die Nullabbildung. (4 Punkte)

13 Es sei τ eine Verschiebung auf dem Vektorraum V und φ: V → W eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass dann α := φ ∘ τ: V → W eine affine Vektorabbildung ist. (4 Punkte)