LAI-Vordiplomklausur (Prof. Dr. U. Schoenwaelder), 31.3.2003

Gruppe B

Name: Matrikelnummer:

\underline{Ankreuzteil.} Kreuzen Sie bei jeder Frage der Aufgaben 1 bis 5 entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Wenn Sie bei einer Frage unsicher sind, machen Sie einfach kein Kreuz.

1 Es sei K ein Körper und V ein endlich erzeugter K-Vektorraum. Sind die folgenden Aussagen richtig? Wenn B = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) ein Erzeugendensystem von V und (c_{1}, c_{2}, c_{3}) eine linear unabhängige Folge von Vektoren in V ist, dann ist B eine Basis von V.

□ Ja □ Nein

Wenn B = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) eine Folge von Vektoren in V und (c_{1}, c_{2}) ein Erzeugendensystem von V ist, dann ist B linear abhängig.

□ Ja □ Nein

Wenn V = ⟨b_{1}⟩ ⊕ ⟨b_{2}⟩ ⊕ ⟨b_{3}⟩ mit Vektoren b_{1}, b_{2}, b_{3} ∈ V ist, dann ist (b_{1}, b_{2}, b_{3}) eine Basis von V.

□ Ja □ Nein

Wenn B = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) eine Basis von V ist, dann gilt V = ⟨b_{1}, b_{2}⟩ ⊕ ⟨b_{1}, b_{3}⟩.

□ Ja □ Nein

Wenn B = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) eine Folge von Vektoren in V und (b_{1}, b_{2} − b_{1}, b_{1} − b_{2} + b_{3}) eine Basis von V ist, dann ist auch B eine Basis von V.

□ Ja □ Nein

2 Es sei K := \underline{7} der Körper mit 7 Elementen und K[X] die Polynomalgebra über K.

K[X] ist als K-Vektorraum endlich erzeugt.

□ Ja □ Nein

Zu jedem Polynom p ∈ K[X] gibt es ein Element u ∈ K mit p(u) = 1.

□ Ja □ Nein

Der Grad des Produktes zweier Polynome ungleich 0 aus K[X] ist gleich der Summe der Grade der beiden Polynome.

□ Ja □ Nein

Das Polynom X + 4 ist in K[X] ein größter gemeinsamer Teiler der Polynome X^{2} + 5X + 4 und X^{2} + 3X + 2. (Beachten Sie K = \underline{7}.)

□ Ja □ Nein

3 Es seien B, C, D Basen eines 2-dimensionalen ℚ-Vektorraums V, die gemäß

Bid^{C} = [ \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ] und _{B}id^{D} = [ \begin{matrix}2 & −1 \\ −1 & 2 \end{matrix} ] auseinander hervor gehen.

Gibt es einen Vektor x ∈ V mit_{B}x = [ \begin{matrix}4 \\ 10 \end{matrix} ],_{C}x = [ \begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix} ],_{D}x = [ \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix} ]?

□ Ja □ Nein

Gibt es eine lineare Abbildung φ: V → V mit

Bφ^{B} = [ \begin{matrix}2 & −2 \\ −2 & 4 \end{matrix} ] und _{C}φ^{C} = [ \begin{matrix}14 & 20 \\ −8 & −12 \end{matrix} ]?

□ Ja □ Nein

4 Wir betrachten die symmetrische reelle 3 × 3-Matrix A = [ \begin{matrix}2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{matrix} ] und die Abbildung

α := (x ↦ x^{tr}Ax): ℝ^{3×1} → ℝ. Ist α eine quadratische Form?

□ Ja □ Nein

Ist α eine affine Vektorabbildung?

□ Ja □ Nein

Es sei Γ die Bilinearform auf ℝ^{3×1}, deren Gram-Matrix bezüglich der Standardbasis S gerade A ist. Ist (ℝ^{3×1}, Γ) ein euklidischer Vektorraum?

□ Ja □ Nein

5 Es sei V ein n-dimensionaler ℝ-Vektorraum und φ ein invertierbarer Endomorphismus von V. Sind die folgenden Aussagen richtig? Wenn x ∈ V ein Eigenvektor von φ ist, dann ist x auch ein Eigenvektor von φ^{2}.

□ Ja □ Nein

Wenn es eine Basis B von V gibt, so dass_{B}φ^{B} eine symmetrische Matrix ist, dann besitzt V eine Basis aus Eigenvektoren von φ.

□ Ja □ Nein

Wenn G ∈ ℝ^{n×n} eine symmetrische Matrix ist, dann existiert eine orthogonale Matrix T ∈ ℝ^{n×n}, für die T^{tr}GT eine Diagonalmatrix ist.

□ Ja □ Nein

LAI-Vordiplomklausur (Prof. Dr. U. Schoenwaelder), 31.3.2003

Gruppe B

\underline{Ergebnisteil.} Tragen Sie bei den Aufgaben 6 bis 9 jeweils nur die Ergebnisse in die dafür vorgesehenen Kästchen ein. Sie brauchen die Ergebnisse nicht zu begründen, für Begründungen und Ansätze gibt es aber auch keine Punkte. Für jede richtige Antwort bekommen Sie die angegebene Punktzahl. Für falsche Antworten gibt es Null Punkte.

6 Gegeben ist die Matrix P := [ \begin{matrix}−1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ −3 & 0 & 2 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3}.

Berechnen Sie die zu P inverse Matrix  P^{−1} = [  ].  (4 Punkte)

7 Der Endomorphismus φ des ℚ-Vektorraums V habe bezüglich einer Basis B die Matrix

Bφ^{B} = [ \begin{matrix}3 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix} ]. Die Eigenwerte dieser Matrix sind 2 und 4. Bestimmen Sie eine Eigenvektorbasis C

von φ, geben Sie aber nur die Basiswechselmatrix _{B}id^{C} = [  ] an.  (4 Punkte)

8 Im Vektorraum V = \underline{7}^{1×3} (über dem Körper \underline{7} = \{0, 1, 2, …, 6\} mit sieben Elementen) seien die Vektoren a = [2, 0, 1], b = [1, 3, 0] und c = [1, 0, 2] sowie der Teilraum U = ⟨ a, b ⟩ gegeben.

(a) Wie viele Nebenklassen hat U in V? (1 Punkt)

(b) Finden Sie eine lineare Abbildung φ: V → V, φ ≠ 0, bei der alle Vektoren der Nebenklasse U +c

dasselbe Bild haben, und geben Sie die Abbildungsmatrix_{S}φ^{B} = [  ] bezüglich der

Basis B = (a, b, c) und der Standardbasis S von V an. (2 Punkte)

(c) Welche Dimension hat der Teilraum W, der von den Vektoren der Nebenklasse U + [3, 4, 5] erzeugt wird? (2 Punkte)

9 In einem ℝ-Vektorraum mit Basis B sei der Endomorphismus φ gegeben durch seine Matrix

Bφ^{B} = [ \begin{matrix}3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ].

Welchen Grad hat das Minimalpolynom von φ? (2 Punkte)

Welche Dimensionen haben die Haupträume von φ? (2 Punkte)

\underline{Schriftlicher Teil.} Beantworten Sie die Aufgaben 10 bis 13 schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an.

10 Formulieren Sie eine Definition für den Begriff ”lineare Abbildung“. [Geben Sie dabei alle Vorausset-

zungen an und schreiben Sie in vollständigen Sätzen. Vergessen Sie nicht ”für alle“ bzw. ”es gibt“.]

(4 Punkte)

11 Gegeben seien K-Vektorräume V und W mit einer linearen Abbildung φ : V → W und Vektoren x, y ∈ V. Beweisen oder widerlegen Sie die Aussage ”Ist (φ(x), φ(y)) eine linear unabhängige Folge, so ist auch die Folge (x, y) linear unabhängig.“ [Stellen Sie den logischen Aufbau Ihrer Argumentation unmissverständlich dar.] (4 Punkte)

12 Für jede n×n-Matrix M ∈ K^{n×n} über einem Körper K bezeichnen wir mit φ_{M} die lineare Abbildung φ_{M} = (x ↦ Mx): K^{n×1} → K^{n×1}. Wir betrachten Matrizen A, B ∈ K^{n×n}. Der Spaltenraum K^{n×1} besitze eine Basis, die gleichzeitig Eigenvektorbasis bezüglich φ_{A} und bezüglich φ_{B} ist. Zeigen Sie, dass AB = BA ist. (4 Punkte)

13 Das Minimalpolynom m(X) eines Endomorphismus φ eines K-Vektorraums V habe die Form m(X) = u(X) · v(X) mit teilerfremden Polynomen u(X), v(X) ∈ K[X]. Berechnen Sie für den Fall K = \underline{2} und u(X) = X^{2} + 1 und v(X) = X^{2} + X + 1 Polynome s(X) und t(X), für die sich jeder Vektor x ∈ V in der Form x = (u(φ)∘s(φ)) (x) + (v(φ)∘t(φ)) (x) schreiben lässt. (4 Punkte)