1. Nachholklausur zur Linearen Algebra I (8. 4. 1994)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Formulieren Sie vollständige Sätze (keine logischen Pfeile!) und vergessen Sie nicht, jedes ”für alle“ oder ”es gibt ein“ wirklich hinzuschreiben. Alle Bezeichnungen, die Sie benutzen und die nicht aus dem Aufgabentext stammen, müssen Sie erklären. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Formulieren Sie eine Definition für den Ausdruck ”erzeugt den Vektorraum V “. (Vergessen Sie nicht, alle Voraussetzungen anzugeben. Vermengen Sie nicht verschiedene, aber äquivalente Formulierungen; nur eine ist verlangt.) 3 Punkte

Aufgabe 2. Es sei F der IR-Vektorraum aller Abbildungen von IR nach IR.

a) Ist M_{1} = {f ∈ F | f(−1) ≤ f(0) ≤ f(1)} ein Teilraum von F? 2 Punkte b) Ist M_{2} = {f ∈ F | f(−1) + f(1) = f(0)} ein Teilraum von F? 3 Punkte c) Ist M_{3} = {f ∈ F | f(−1) = f(0) oder f(1) = f(0)} ein Teilraum von F? 2 Punkte

Antwort jeweils mit Begründung.

Aufgabe 3. Ist die Teilmenge M = { (1, 1, 0), (0, 0, 0), (1, 1, 1), (0, 1, 0) } von V_{1×3}(ZZ_{2}) eine Restklasse? (Begründung.) 4 Punkte

Aufgabe 4. Über dem Körper ZZ_{11} mit 11 Elementen ist ein \underline{lösbares} inhomogenes lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 6 Unbekannten gegeben. Für welche der Zahlen

\begin{matrix}n_{1} = 1, & n_{3} = 11, & n_{5} = 100, & n_{7} = 3000, \\ n_{2} = 3, & n_{4} = 33, & n_{6} = 1000, & n_{8} = 15000 \end{matrix}

ist die Aussage A(n_{i}):

”Das System hat notwendigerweise mindestens n_{i} Lösungen“

richtig, für welche nicht? (Achten Sie auf eine vollständige Begründung Ihrer Antwort.) 5 Punkte

Aufgabe 5. Im ZZ_{5}-Vektorraum V_{1×5}(ZZ_{5}) sind die folgenden Vektoren gegeben.

X_{1} = (1, 2, 3, 4, 0),

X_{2} = (4, 1, 3, 0, 2),
X_{3} = (1, 1, 2, 1, 1),
X_{4} = (0, 2, 1, 3, 4),
X_{5} = (3, 0, 2, 0, 4).

a) Berechnen Sie eine Basisfolge für das Erzeugnis T = ⟨X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}, X_{5}⟩. 4 Punkte b) Welche Dimensionen haben die Teilräume T_{1} = ⟨X_{1}, X_{2}, X_{3}⟩, T_{2} = ⟨X_{3}, X_{4}, X_{5}⟩ und

T_{3} = T_{1} ∩ T_{2}? 4 Punkte Aufgabe 6. Im Vektorraum F(IR) aller reellwertigen Abbildungen auf IR betrachten wir die Funktionen

s = ( x ⟼ sinx für x ∈ IR ),
c = ( x ⟼ cosx für x ∈ IR ),
q = ( x ⟼ x^{2} für x ∈ IR ).

Ist die Folge (s, c, q) linear unabhängig? (Antwort mit Begründung.) 4 Punkte

Aufgabe 7.

a) Hat die Restklasse \overline{55} im Restklassenring ZZ_{96} ein inverses Element bezüglich der Multiplikation? (Berechnen Sie es, oder zeigen Sie, daß es keins gibt.) 5 Punkte

b) Hat die Restklasse \overline{6} im Restklassenring ZZ_{96} ein inverses Element bezüglich der Multiplikation? (Berechnen Sie es, oder zeigen Sie, daß es keins gibt.) 3 Punkte

Aufgabe 8.

a) Die ganzzahligen Lösungen (x, y) ∈ V_{1×2}(ZZ) der Gleichung 113x + 37y = 0 bilden den ZZ-Modul H = (37, −113) · ZZ. Nun sei (x_{0}, y_{0}) eine ganzzahlige Lösung der Gleichung

113x + 37y = 1.

Geben Sie die Menge aller ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung an. 2 Punkte b) Berechnen Sie eine ganzzahlige Lösung (x_{0}, y_{0}) ∈ V_{1×2}(ZZ) der Gleichung 113x+37y = 1.

4 Punkte

Aufgabe 9.

Im CI -Vektorraum V = V_{4×1}(CI ) sind die Vektoren X_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ i \\ 1 + i \end{matrix} ), X_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ i \\ 0 \end{matrix} ), X_{3} = ( \begin{matrix}i \\ 1 + i \\ 1 − i \\ 0 \end{matrix} )

gegeben. Die Folge (X_{1}, X_{2}, X_{3}) ist offensichtlich linear unabhängig. Geben Sie einen Teilraum U von V an derart, daß ( X_{1} + U, X_{2} + U, X_{3} + U ) eine Basisfolge des Faktorraums V/U ist. (Begründung.) 5 Punkte

Aufgabe 10. In einem affinen Raum M über V_{3×1}(Q I ) ist ein Punkt p ∈ M vorgegeben (”Ursprung“). Wir definieren Geraden

G = p ∗ R und H = p ∗ S

durch Angabe der Restklassen

R := ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) + ⟨( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} )⟩ und S := ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) + ⟨( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )⟩.

Zeigen Sie, daß die Geraden G und H sich nicht schneiden. 5 Punkte

1. Nachholklausur zur Linearen Algebra I (8. 4. 1994) Blatt 2