Aufgabenblatt 1 zur Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (5. 4. 1994)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 1.

Formulieren Sie eine Definition für die Begriffe ”linear abhängig“ und ”linear unabhängig“. (Vergessen Sie nicht, alle Voraussetzungen anzugeben.) 3 Punkte

Aufgabe 2.

Im IR-Vektorraum F = V_{4×1}(IR) seien die folgenden Mengen M_{1} und M_{2} gegeben.

M_{1} = \{( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ) ∈ F | 9x_{1}^{2} − 4x_{4}^{2} = 0\}, M_{2} = \{( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ) ∈ F | 9x_{1}^{2} + 4x_{4}^{2} = 0\}.

a) Ist M_{1} ein Teilraum von F? (Begründung.) 2 Punkte b) Ist M_{2} ein Teilraum von F? (Begründung.) 4 Punkte c) Geben Sie für jede der Mengen M_{1} und M_{2}, sofern sie ein Teilraum ist, eine Basisfolge

an. 2 Punkte

Aufgabe 3.

Es sei ein \underline{lösbares} inhomogenes lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 5 Unbekannten über dem Körper ZZ_{1009} mit 1009 Elementen gegeben (bekanntlich ist 1009 eine Primzahl). Für welche der Zahlen

\begin{matrix}n_{1} = 1, & n_{3} = 1 000, & n_{5} = 10 000, & n_{7} = 10 000 000, \\ n_{2} = 10, & n_{4} = 1 010, & n_{6} = 1 000 000, & n_{8} = 1 000 000 000 \end{matrix}

ist die Aussage ”das System hat notwendigerweise mindestens n_{i} Lösungen“ wahr, für welche ist sie falsch? Geben Sie für Ihre Antwort einen ausführlichen Beweis. 6 Punkte

Aufgabe 4.

In V = V_{4×1}(ZZ_{5}) sei der Teilraum T = ⟨ ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) ⟩ gegeben. Geben Sie eine Basisfolge für den

Faktorraum V/T an. (Formulierung und Begründung sind wichtig.) 4 Punkte

Aufgabe 5.

Geben Sie Basen für drei 2-dimensionale Teilräume T_{1}, T_{2}, T_{3} von V := V_{4×1}(IR) an, so daß die Summe von je zweien dieser Teilräume ganz V ist (mit Begründung). 4 Punkte

Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (5. 4. 1994)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 6.

Invertieren Sie die Matrix M = ( \begin{matrix}−1 & 3 & 4 \\ −3 & 10 & 14 \\ 1 & −4 & −5 \end{matrix} ) ∈ V_{3×3}(Q I ). 5 Punkte

Aufgabe 7.

Wir betrachten einen 4-dimensionalen Q I -Vektorraum V und die Matrix A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) über Q I . Beweisen Sie jeweils (ohne viel zu rechnen), ob oder ob nicht

a) es Basisfolgen B_{1} und B_{2} von V und eine lineare Abbildung φ: V ⟶ V gibt, so daß M(B_{1}, φ, B_{1}) = A und M(B_{2}, φ, B_{2}) = λE für ein λ ∈ Q I (also ein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix E) ist, 3 Punkte

b) es Basisfolgen C_{1} und C_{2} von V und eine Bilinearform Φ: V × V ⟶ Q I gibt, so daß M(C_{1}, Φ, C_{1}) = A und M(C_{2}, Φ, C_{2}) eine Diagonalmatrix ist. 3 Punkte

Aufgabe 8.

Wir betrachten auf W = V_{1×5}(ZZ_{5}) das Standard-Skalarprodukt Φ: W × W ⟶ ZZ_{5} mit

Φ(X, Y) = ∑_{i=1}^{5} x_{i}y_{i} für X = (x_{1}, …, x_{5}), Y = (y_{1}, …, y_{5}) ∈ W.

a) Ist Φ ausgeartet? 2 Punkte b) Gibt es in W isotrope Vektoren bezüglich Φ? 2 Punkte

Begründen Sie jeweils Ihre Antwort.

Aufgabe 9.

Es sei B eine Basisfolge von V = V_{3×1}(ZZ_{3}). Ein Skalarprodukt Φ: V × V ⟶ ZZ_{3} sei gegeben

durch die Matrix M(B, Φ, B) = ( \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ −1 & 1 & −1 \\ 1 & −1 & 1 \end{matrix} ). Berechnen Sie eine Orthogonalbasis C von

V bezüglich Φ. (Vergessen Sie nicht die Formulierung des Ergebnisses.) Hinweis: Das Gram-Schmidt-Verfahren ist hier ungeeignet. 4 Punkte

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Aufgabe 10.

Gegeben seien K-Vektorräume W und V gleicher Dimension, eine nicht ausgeartete Bilinearform Φ: W × V ⟶ K sowie ein Paar (B′, B) bezüglich Φ dualer Basisfolgen von W und V.

a) Welche Matrix hat Φ bezüglich B′ und B? 2 Punkte b) Es sei (C′, C) ein weiteres Paar bezüglich Φ dualer Basisfolgen von W und V. Leiten Sie

eine Formel her, mit der sich aus der Basiswechselmatrix M(B, C) die Basiswechselmatrix m(C′, B′) berechnen läßt. 2 Punkte

Aufgabe 11.

Das folgende lineare Gleichungssystem über Q I ist offenbar nicht lösbar.

\begin{aligned}2 · x_{1} & + & 1 · x_{2} & = & 8 \\ 1 · x_{1} & + & 1 · x_{2} & = & 4 \\ 0 · x_{1} & + & 1 · x_{2} & = & 2 \end{aligned}

Berechnen Sie eine \underline{neue rechte Seite}, so daß das Gleichungssystem lösbar wird und die Abweichung der neuen rechten Seite von der alten bezüglich des Standard-Skalarprodukts möglichst klein wird, und zwar auf zwei Arten:

a) nach der allgemeinen Methode der besten Approximation, 8 Punkte b) durch vorherige Bestimmung einer guten Ersatzlösung für ein ”überbestimmtes“ lineares

Gleichungssystem. 6 Punkte

Aufgabe 12.

Berechnen Sie die Determinante der Matrix M = ( \begin{matrix}2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & −1 & 2 \\ −1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{matrix} ) ∈ V_{4×4}(IR). 4 Punkte

Aufgabe 13.

Wir betrachten im Restklassenring ZZ_{252} die Restklassen \overline{55} und \overline{42}, die die Zahlen 55 bzw. 42 enthalten.

a) Hat \overline{55} ein inverses Element bezüglich der Multiplikation? Wenn ja, berechnen Sie es. Wenn nein, beweisen Sie, daß es keins gibt. 4 Punkte

b) Hat \overline{42} ein inverses Element bezüglich der Multiplikation? Wenn ja, berechnen Sie es. Wenn nein, beweisen Sie, daß es keins gibt. 2 Punkte