Aufgabenblatt 1 zur Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (22. 9. 1994)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 1. Formulieren Sie eine Definition für die Begriffe ”Bilinearform“, ”Skalarprodukt“ und ”ausgeartetes Skalarprodukt“. (Vergessen Sie nicht, alle Voraussetzungen anzugeben.) 4 Punkte

Aufgabe 2. Es sei F der IR-Vektorraum aller Abbildungen von IR nach IR.

a) Ist M_{1} = {f ∈ F | f(2) · f(3) = f(6)} ein Teilraum von F? 2 Punkte b) Ist M_{2} = {f ∈ F | f(2) + f(3) = f(5)} ein Teilraum von F? 3 Punkte

(Antwort jeweils mit Begründung.)

Aufgabe 3. Wir betrachten \underline{lösbare} inhomogene lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 5 Unbekannten über dem Körper ZZ_{7} mit 7 Elementen. Bestimmen Sie die natürliche Zahl n, für die die beiden folgenden Aussagen gelten.

(1) Jedes solche System hat mindestens n Lösungen.

(2) Nicht jedes solche System hat mindestens n + 1 Lösungen. (Geben Sie ausführliche Beweise für beide Eigenschaften.) 7 Punkte

Aufgabe 4. Im Vektorraum V = V_{4×1}(ZZ_{5}) über dem Körper ZZ_{5} mit 5 Elementen sei der Teilraum

T = ⟨ ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) ⟩

gegeben. Geben Sie eine Basisfolge für den Faktorraum V/T an. (Formulierung und Begründung sind wichtig.) 5 Punkte

Aufgabe 5. Invertieren Sie die Matrix M = ( \begin{matrix}1 & −1 & 2 \\ 2 & −1 & 3 \\ −1 & 3 & −3 \end{matrix} ) ∈ V_{3×3}(Q I ). 5 Punkte

Aufgabenblatt 2 zur Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (22. 9. 1994)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 6.

Es sei V der Vektorraum V_{4×1}(IR).

a) Geben Sie, falls möglich, zwei 3-dimensionale Teilräume T_{1}, T_{2} von V an mit T_{1}∩T_{2} = {0}. 3 Punkte

b) Geben Sie, falls möglich, drei 2-dimensionale Teilräume U_{1}, U_{2}, U_{3} von V an, die paarweise den Durchschnitt {0} haben. 4 Punkte

c) Gibt es zweihundert 1-dimensionale Teilräume in V, die paarweise den Durchschnitt {0}

haben? 3 Punkte (Antwort jeweils mit Begründung. Achten Sie auf die Formulierung.)

Aufgabe 7.

Wieviele lineare Abbildungen α: V_{4×1}(Q I ) ⟶ V_{3×1}(Q I ) gibt es, welche folgendermaßen abbilden?

A_{1} =( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )⟼ B_{1} =( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ), A_{2} =( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} )⟼ B_{2} =( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ), A_{3} =( \begin{matrix}−1 \\ −1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} )⟼ B_{3} =( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ).

(Mit Beweis.) 3 Punkte

Aufgabe 8.

Es sei B = (B_{1}, B_{2}, B_{3}) eine Basisfolge von V = V_{3×1}(IR) und Φ: V × V ⟶ IR das durch

die Matrix M(B, Φ, B) = ( \begin{matrix}1 & 2 & −1 \\ 2 & 1 & 1 \\ −1 & 1 & 1 \end{matrix} ) bestimmte Skalarprodukt auf V. Berechnen Sie mit

Hilfe der Methode der simultanen Zeilen- und Spaltenumformungen eine Orthogonalbasisfolge C = (C_{1}, C_{2}, C_{3}) von V bezüglich Φ, und geben Sie

a) die Matrix M(C, Φ, C),

b) die Basiswechselmatrix M(B, C) und

c) die Basisvektoren C_{1}, C_{2}, C_{3} als Ausdrücke in B_{1}, B_{2}, B_{3} an. 5 Punkte

Aufgabe 9.

In Aufgabe 8 hätten wir auch das Gram-Schmidt-Verfahren anwenden können. Aber das funktioniert nicht immer.

a) Warum nicht? 2 Punkte b) Es sei V = V_{n×1}(IR) mit n > 1 und Φ ein Skalarprodukt auf V. Geben Sie für Φ eine

hinreichende Bedingung dafür an, daß man aus \underline{jeder} Basisfolge B von V mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens eine Orthogonalbasisfolge von V bezüglich Φ berechnen kann. (Mit Begründung.) 2 Punkte

Aufgabenblatt 3 zur Vordiplom-Klausur Lineare Algebra (22. 9. 1994)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Aufgabe 10.

Es sei E = {0, 1, 2, 3, 4} ⊆ IR, und es sei f die Funktion in IR^{E} mit den folgenden Werten.

\begin{matrix}x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ f(x) & 8 & 4 & 3 & 0 & −10 \end{matrix}

Bestimmen Sie diejenige quadratische Funktion g(x) = ax^{2} + bx + c auf E (also diejenige Funktion g aus dem von den Potenzfunktionen p_{0}, p_{1}, p_{2} aufgespannten Teilraum von IR^{E}), die die beste Approximation der Funktion f bezüglich des durch

Γ(g, h) = ∑_{x∈E} g(x)h(x)

gegebenen Skalarprodukts liefert. (Wir empfehlen, für jede in der Rechnung auftretende Funktion die gegebene Wertetabelle um die entsprechende Zeile zu ergänzen.) 8 Punkte

Aufgabe 11.

Berechnen Sie die Determinante der Matrix M = ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & −2 \\ 2 & 1 & −2 & 0 \\ 0 & 1 & −1 & 2 \\ 2 & 0 & 2 & 1 \end{matrix} ) ∈ V_{4×4}(IR). 4 Punkte

Aufgabe 12.

Es sei R ein kommutativer Ring-mit-1, und es sei a ein Nullteiler von R. Zeigen Sie, daß a in R kein (multiplikatives) Inverses besitzt. (Die Formulierung ist wichtig.) 3 Punkte

Aufgabe 13.

Wir betrachten im Restklassenring ZZ_{111} die Restklasse \overline{70}, die die Zahl 70 enthält. Berechnen Sie zu \overline{70} ein inverses Element bezüglich der Multiplikation. 4 Punkte

Aufgabe 14.

Es sei V der Vektorraum V_{3×1}(ZZ_{3}). Die lineare Abbildung β: V ⟶ V sei bezüglich der

Standardbasis S von V durch die Matrix M(S, β, S) = ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} ) gegeben.

a) Gibt es in V einen 1-dimensionalen, β-invarianten Teilraum T (d. h. β(T) ≤ T) ?

b) Gibt es in V einen 2-dimensionalen, β-invarianten Teilraum U (d. h. β(U) ≤ U), dessen

sämtliche 1-dimensionale Teilräume ebenfalls β-invariant sind? (Denken Sie daran, daß wir über dem Körper mit 3 Elementen rechnen!) 7 Punkte